Упражнение 681 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(7^8 - 7^7 + 7^6 =\)

\(=7^6\bigl(7^2 - 7 + 1\bigr) = 7^6 \cdot 43\), значит, выражение делится на 43.

б) \(2^{13} - 2^{10} - 2^9 =\)

\(=2^9\bigl(2^4 - 2^1 - 1\bigr) = 2^9 \cdot 13\), значит, выражение делится на 13.

в) \(27^4 - 9^5 + 3^9 =\)

\(=(3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 =\)

\(=3^{12} - 3^{10} + 3^9 =\)

\(=3^9\bigl(3^3 - 3^1 + 1\bigr) = 3^9 \cdot 25\), значит, выражение делится на 25.

г) \(16^4 - 2^{13} - 4^5 =\)

\(=(2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 =\)

\(=2^{16} - 2^{13} - 2^{10} =\)

\(=2^{10}\bigl(2^6 - 2^3 - 1\bigr) = 2^{10} \cdot 55 =\)

\(=2^{10} \cdot 5 \cdot 11=2^{9} \cdot 110\), значит, выражение делится на 110.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Вынос общего множителя: \[A^n \pm A^m = A^{\min(n,m)}\bigl(A^{|n-m|} \pm 1\bigr).\]

2) Свойство нулевого члена: если выражение равно произведению, то его делимость проверяется делимостью каждого множителя.

3) Критерий делимости: произведение чисел делится на заданное число, если в разложении произведения на простые множители содержатся все простые множители делителя с не меньшими степенями.

В подзадаче а) вынесли \(7^6\) и получили множитель 43.

В подзадаче б) вынесли \(2^9\) и получили множитель 13.

В подзадаче в) перевели все степени к основанию 3, вынесли \(3^9\) и получили множитель 25.

В подзадаче г) перевели все степени к основанию 2, вынесли \(2^{10}\) и получили множитель \(55=5\cdot11\), что вместе с оставшимся \(2^{10}\) содержит в себе \(2\cdot5\cdot11=110\).

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Также, выполняя умножение многочлена на многочлен, помним, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складывают, а основание оставляют тем же.