Задание 453 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: окр.(О₁, r), окр.(О₂, r), M - их точка касания, - касательная, А и В точки касания.

Доказать: АВ = О₁О₂.

Доказательство:

1. Пусть d - общая касательная данных окружностей, т.е. М d, О₁М d и О₂М d.

2. В прямоугольных О₁РМ и О₂РМ:

О₁М = О₂М = r и РМ - общая,

О₁РМ = О₂РМ по двум катетам,

О₁Р = О₂Р.

3. - касательная, А и В точки касания, О₁А и О₂В , О₁А О₂В и О₁АВ и О₂ВА - прямоугольные, и в них: О₁А = О₂В = r и АВ - общая, О₁АВ = О₂ВА по двум катетам, АО₂ = ВО₁, при этом О₁Р = О₂Р, АР = ВР.

4. АО₂ = ВО₁, О₁Р = О₂Р и АР = ВР, при этом Р d, d - ось симметрии отрезков АО₂ и ВО₁, АС = ВС, при этом О₁М = О₂М и О₁А О₂В,

АВ = О₁О₂.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы  выполнить доказательство делаем дополнительное построение: проводим общую касательную d для двух окружностей через точку М. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, тогда О₁М d и О₂М d, следовательно, О₁РМ и О₂РМ - прямоугольные. При этом в них: 

О₁М = О₂М = r (по условию окружности одинакового радиуса) и РМ - общая, значит, О₁РМ = О₂РМ по двум катетам. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому О₁Р = О₂Р.

По условию прямая является касательной к каждой из данных окружностей в точках А и В соответственно, значит, О₁А и О₂В , тогда О₁А О₂В, т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны. Также О₁АВ и О₂ВА - прямоугольные, и в них:

О₁А = О₂В = r и АВ - общая, следовательно, О₁АВ = О₂ВА по двум катетам, тогда АО₂ = ВО₁, при этом О₁Р = О₂Р, тогда и АР = ВР.

Итак, АО₂ = ВО₁, О₁Р = О₂Р и АР = ВР и Р d, значит, d - ось симметрии отрезков АО₂ и ВО₁, тогда АС = ВС, при этом О₁М = О₂М и О₁А О₂В, следовательно, АВ = О₁О₂, т.к. все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Что и требовалось доказать.