Задание 448 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: окружность(О), отрезок АВ.

Построить: точку М на окружности так, что АМ = ВМ.

Построение:

Доказательство:

В АВМ₁: ЕМ₁ - медиана и высота по построению, АВМ₁ - равнобедренный (свойство равнобедренного треугольника), АМ₁ = ВМ₁. Аналогично доказывается, что АМ₂ = ВМ₂, 2 решения.

Ответ: задача может иметь 2 решения, 1 решение или не иметь решений.

Пояснения:

Строим с помощью циркуля окружность произвольного радиуса с центром в точке О и с помощью линейки отрезок АВ.

Далее находим середину отрезка АВ, т.е. строим серединный перпендикуляр. Для этого с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом).

Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q, проведем через эти точки с помощью линейки прямую РQ, которая пересечет отрезок АВ в точке Е и окружность с центром в точке О в точках М₁ и М₂. РQ - серединный перпендикуляр для отрезка АВ, точка Е - середина отрезка АВ.

Докажем, что точки М₁ и М₂ - искомые точки, для которых выполняются условия АМ₁ = ВМ₁ и АМ₂ = ВМ₂.

Рассмотрим АВМ₁: ЕМ₁ - медиана, т.к. точка Е - середина АВ по построению, и ЕМ₁ - высота, т.к. РQ -  перпендикуляр по построению, тогда, учитывая то, что если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника, получим, что АВМ₁ равнобедренный с основанием АВ, следовательно, АМ₁ = ВМ₁ (боковые стороны равнобедренного треугольника). Аналогично доказывается равенство АМ₂ = ВМ₂.

В данных условиях получили, что на данной окружности можно построить две точки М₁ и М₂, для которых выполняются условия АМ₁ = ВМ₁ и АМ₂ = ВМ₂, т.е. задача будет иметь два решения.

Если перпендикуляр РQ будет касаться окружности, то решение будет одно, если РQ не будет пересекать окружность, то решений не будет.