Задание 453 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

450 451 452 453 454 455 456

Выберите год учебника

Вопрос

№453 учебника 2013-2022 (стр. 122):

Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую - уменьшить в два раза?


№453 учебника 2023-2024 (стр. 120):

Даны две равные окружности с центрами О1 и О2, имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая является касательной к каждой из них в точках А и В соответственно. Докажите, что отрезок АВ равен отрезку О1О2.

Подсказка

№453 учебника 2013-2022 (стр. 122):

Вспомните:

  1. Какой четырехугольник называется прямоугольником.
  2. Как найти площадь прямоугольника.

№453 учебника 2023-2024 (стр. 120):

Вспомните:

  1. Что называют окружностью.
  2. Что называют отрезком.
  3. Какую прямую называют касательной к окружности, ее свойства.
  4. Параллельные прямые.
  5. Расстояние между параллельными прямыми.
  6. Какой треугольник называют прямоугольным.
  7. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  8. Какие фигуры называют симметричными относительно прямой.
  9. Какие углы называют вертикальными, их свойство.
  10.  

Ответ

№453 учебника 2013-2022 (стр. 122):


№453 учебника 2023-2024 (стр. 120):

Дано: окр.(О1, r), окр.(О2, r), M - их точка касания, - касательная, А и В точки касания.

Доказать: АВ = О1О2.

Доказательство:

1. Пусть d - общая касательная данных окружностей, т.е. М d, О1М d и О2М d.

2. В прямоугольных О1РМ и О2РМ:

О1М = О2М = r и РМ - общая,

О1РМ = О2РМ по двум катетам,

О1Р = О2Р.

3. - касательная, А и В точки касания, О1А и О2В , О1А О2В и О1АВ и О2ВА - прямоугольные, и в них: О1А = О2В = r и АВ - общая, О1АВ = О2ВА по двум катетам, АО2 = ВО1, при этом О1Р = О2Р, АР = ВР.

4. АО2 = ВО1, О1Р = О2Р и АР = ВР, при этом Р d, d - ось симметрии отрезков АО2 и ВО1, АС = ВС, при этом О1М = О2М и О1А О2В,

АВ = О1О2.

Что и требовалось доказать.


Пояснения:

Чтобы  выполнить доказательство делаем дополнительное построение: проводим общую касательную d для двух окружностей через точку М. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, тогда О1М d и О2М d, следовательно, О1РМ и О2РМ - прямоугольные. При этом в них: 

О1М = О2М = r (по условию окружности одинакового радиуса) и РМ - общая, значит, О1РМ = О2РМ по двум катетам. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому О1Р = О2Р.

По условию прямая является касательной к каждой из данных окружностей в точках А и В соответственно, значит, О1А и О2В , тогда О1А О2В, т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны. Также О1АВ и О2ВА - прямоугольные, и в них:

О1А = О2В = r и АВ - общая, следовательно, О1АВ = О2ВА по двум катетам, тогда АО2 = ВО1, при этом О1Р = О2Р, тогда и АР = ВР.

Итак, АО2 = ВО1, О1Р = О2Р и АР = ВР и Р d, значит, d - ось симметрии отрезков АО2 и ВО1, тогда АС = ВС, при этом О1М = О2М и О1А О2В, следовательно, АВ = О1О2, т.к. все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Что и требовалось доказать.


Вернуться к содержанию учебника