Задание 341 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: окружность с центром О, АВ и СD - хорды, АВ = СD.

Доказать: что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Доказательство:

1. Проведем ОН АВ и ОК СD и докажем, что ОН = ОК.

2. В АОВ и СОD:

ОВ = ОС = ОВ = ОD - радиусы, и

АВ = СD,  АОВ и СОD - равнобедренные и АОВ = СОD (по 3 признаку равенства треугольников), ОН = ОК (высоты равных равнобедренных треугольников).

Пояснения:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра (т.е. наименьшее расстояние), проведенного из данной точки к данной прямой. Поэтому для доказательства того, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, из центра окружности О опускаем перпендикуляры ОН и ОК на хорды окружности АВ и СD и доказываем, что ОН = ОК.

В треугольниках АОВ и СОD:

ОВ = ОС = ОВ = ОD, так как эти отрезки являются радиусами окружности и АВ = СD, следовательно, треугольники АОВ и СОD - равнобедренные и АОВ = СОD по 3 признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных равнобедренных треугольниках высоты проведенные к основаниям равны, поэтому ОН = ОК, т.к. по построению отрезки ОН и ОК высоты равных равнобедренных треугольников АОВ и СОD.