Задание 341 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

339 340 341 341 342 343 344

Вопрос

Выберите год учебника

№341 учебника 2013-2022 (стр. 93):

В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок АD - биссектриса. Докажите, что АDВАDС и ВDСD.


№341 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Подсказка

№341 учебника 2013-2022 (стр. 93):

Вспомните:

  1. Какая фигура называется треугольником.
  2. Что такое биссектриса треугольника.
  3. Какие углы называются смежными и их свойство.
  4. Какой угол называется внешним углом треугольника.
  5. Первый признак равенства треугольников.

№341 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Вспомните:

  1. Что называют окружностью, ее хорды.
  2. Что называют расстоянием от точки до прямой.
  3. Какой треугольник называют равнобедренным.
  4. Третий признак равенства треугольников.

Ответ

№341 учебника 2013-2022 (стр. 93):


№341 учебника 2023-2024 (стр. 103):

Дано: окружность с центром О, АВ и СD - хорды, АВ = СD.

Доказать: что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Доказательство:

1. Проведем ОН АВ и ОК СD и докажем, что ОН = ОК.

2. В АОВ и СОD:

ОВ = ОС = ОВ = ОD - радиусы, и

АВ = СD,  АОВ и СОD - равнобедренные и АОВ = СОD (по 3 признаку равенства треугольников), ОН = ОК (высоты равных равнобедренных треугольников).


Пояснения:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра (т.е. наименьшее расстояние), проведенного из данной точки к данной прямой. Поэтому для доказательства того, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, из центра окружности О опускаем перпендикуляры ОН и ОК на хорды окружности АВ и СD и доказываем, что ОН = ОК.

В треугольниках АОВ и СОD:

ОВ = ОС = ОВ = ОD, так как эти отрезки являются радиусами окружности и АВ = СD, следовательно, треугольники АОВ и СОD - равнобедренные и АОВ = СОD по 3 признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных равнобедренных треугольниках высоты проведенные к основаниям равны, поэтому ОН = ОК, т.к. по построению отрезки ОН и ОК высоты равных равнобедренных треугольников АОВ и СОD.


Вернуться к содержанию учебника