Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):
№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):
Вспомните:
№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):
Вспомните:
№342 учебника 2013-2022 (стр. 93):
№342 учебника 2023-2024 (стр. 103):
Дано: окружность с центром О, АВ и СD - хорды, ОН = ОК.
Доказать: АВ = СD.
Доказательство:
1. Пусть ОН и ОК расстояния от центра окружности точки О до хорд АВ и СD ОН АВ и ОК СD, ОН и ОК - высоты равнобедренных треугольников АОВ и СОD (ОА = ОВ = ОС = ОD - радиусы), ОН и ОК медианы АОВ и СОD, АВ = 2АН и СD = 2СК.
2. В прямоугольных АОН и СОК: ОА = ОС - радиусы, ОН = ОК по условию, АОН = СОК по гипотенузе и катету, АН = СК, АВ = СD. Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра (т.е. наименьшее расстояние), проведенного из данной точки к данной прямой. Поэтому, учитывая то, что по построению ОН АВ и ОК СD, отрезки ОН и ОК - расстояния от центра окружности до хорд АВ и СD соответственно и по условию ОН = ОК.
Треугольники АОВ и СОD - равнобедренные, так как все радиусы окружности равны, т.е.
ОА = ОВ = ОС = ОD..
ОН АВ и ОК СD, значит, ОН и ОК - высоты равнобедренных треугольников АОВ и СОD. В равнобедренных треугольниках высоты проведенные к основаниям являются и медианами, значит, ОН и ОК медианы треугольников АОВ и СОD. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, поэтому АН = ВН и СК = КD, тогда
АВ = 2АН и СD = 2СК.
В прямоугольных треугольниках АОН и СОК: ОА = ОС - радиусы, ОН = ОК по условию, значит, АОН = СОК по гипотенузе и катету. В равных треугольниках элементы соответственно равны, тогда АН = СК, а учитывая то, что АВ = 2АН и СD = 2СК, получаем АВ = СD. Что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника