Пирамида

Рассмотрим многоугольник А₁А₂А₃...A_n и точку М, которая не лежит в плоскости этого многоугольника. Если мы соединим точку М с вершинами данного многоугольника, то получим треугольников МА₁А₂, МА₂А₃, ..., МА_nА₁.

Пирамида - это многогранник, который составлен из - угольника А₁А₂А₃...A_n и треугольников МА₁А₂, МА₂А₃, ..., МА_nА₁. Основание пирамиды - это многоугольник А₁А₂А₃...A_n, а указанные треугольники - это боковые грани пирамиды. Точка М - это вершина пирамиды, а отрезки МА₁, МА₂, МА₃, ..., МА_n - это её боковые рёбра. Высота пирамиды - это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с плоскостью основания, перпендикулярный к этой плоскости (отрезок МН). Пирамиду с вершиной М и основанием А₁А₂А₃...A_n называют - угольной пирамидой и обозначают: МА₁А₂А₃...A_n. На рисунке ниже изображены треугольная пирамида (тетраэдр) и пятиугольная пирамида.

Правильная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой основания, является его высотой.

Апофема - это  высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины (например, MN). Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Рассмотрим куб с ребром и проведём его диагонали, которые разобьют его на шесть равных друг другу пирамид с общей вершиной в точке О (точка пересечения диагоналей куба).

Основанием каждой из шести пирамид является квадрат со стороной . При этом высота будет равняться  . Так как куб разбит на шесть равных пирамид, то объём каждой из них будет в шесть раз меньше объёма куба, то есть равен . Но , где - площадь основания пирамиды, - её высота. Как видим, объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания и высотой равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данное утверждение справедливо и для произвольной пирамиды.

Объём пирамиды