Свойства прямоугольного параллелепипеда

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трёх рёбер с общей вершиной. Например,  в качестве измерений у прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁  можно взять длины рёбер D₁D, D₁C₁ и D₁A₁, которые имеют общую вершину D₁.

У прямоугольника два измерения - длина и ширина. При этом квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (данное утверждение основывается на теореме Пифагора).

Свойство

Доказательство

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁  - прямоугольный параллелепипед, В₁В, В₁С₁, В₁А₁ - измерения

Доказать: BD₁² = В₁В² + В₁С₁² + В₁А₁²

Доказательство:

ВВ₁ A₁B₁C₁D₁, т.е. данное ребро перпендикулярно любой прямой, которая принадлежит плоскости этой грани и проходит через точку В₁. Следовательно, D₁B₁B = 90⁰. По теореме Пифагора для D₁B₁B запишем:  BD₁² = В₁В² + В₁D₁² . ABCDA₁B₁C₁D₁  - прямоугольный параллелепипед, то есть основание A₁B₁C₁D₁ является прямоугольником, значит, В₁D₁ есть диагональ прямоугольника и В₁D₁² = В₁С₁² + В₁А₁². Следовательно, BD₁² = В₁В² + В₁С₁² + В₁А₁², что и требовалось доказать.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. По аналогии для прямоугольного параллелепипеда справедливо:

Чтобы доказать данное утверждение воспользуемся принципом Кавальери:

Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями , и 1 и  куб с ребром 1, которые "стоят" на плоскости .

Нам известно, что данный куб будет являться единицей измерения объёмов, т.е. его объём равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости , даёт в качестве сечения данного параллелепипеда прямоугольник, площадь которого равна , а куба - квадрат, площадь которого равна 1. То есть площадь сечения параллелепипеда в раз больше площади сечения куба, а, значит, согласно принципу Кавальери, объём рассматриваемого параллелепипеда больше объёма куба в раз, то есть равен .

Далее рассмотрим два прямоугольных параллелепипеда с измерениями  , , и , , 1, которые "стоят" на плоскости так, чтобы основания принадлежащие этой плоскости имели измерения , и , 1.

Объём второго параллелепипеда равен (см. доказано выше). Любая секущая плоскость, параллельная плоскости , даёт в качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник, площадь которого равна , а второго  - прямоугольник, площадь которого равна . То есть площадь сечения первого параллелепипеда в раз больше площади сечения второго параллелепипеда, а, значит, согласно принципу Кавальери, объём первого параллелепипеда больше объёма второго параллелепипеда в раз, то есть равен V = , что и требовалось доказать.

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями , , , который изображен выше, площадь основания S равна , а высота равна боковому ребру: = . Значит, формулу V = можно записать в виде: V = S.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём призмы