Параллелепипед

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, основания которой являются параллелограммами. Каждая из шести граней параллелепипеда - это параллелограмм.

Боковые грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, основаниями которого служат прямоугольники.

Доказательство данного свойства основано на том, что если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны (*).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед

Доказать: диагонали ABCDA₁B₁C₁D₁  пересекаются в точке О и делятся ей пополам

Доказательство:

Грани ABCDA₁B₁C₁D₁  параллелограммы,  поэтому ABA₁B₁ и  AB = A₁B₁, A₁B₁D₁C₁, A₁B₁ = D₁C₁, значит, учитывая (*), получаем, что ABD₁C₁, AB = D₁C₁, следовательно, ABC₁D₁ - параллелограмм (по 1 признаку). Но диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, т.е. BD₁ и АС₁ (данные отрезки являются диагоналями и параллелограмма ABC₁D₁  и параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁) пересекаются в некоторой точке О и делятся данной точкой пополам.

Аналогично доказывается, что что четырёхугольник ВСD₁A₁ - параллелограмм, значит, его диагонали BD₁ и СА₁ пересекаются в некоторой точке и делятся ей пополам, но середина BD₁ - это точка О. Т.е. диагонали параллелепипеда СА₁, BD₁ и АС₁ пересекаются в точке О и делятся ею пополам.

По аналогии, если мы рассмотрим четырёхугольник DCB₁A₁, установим, что четвертая диагональ DB₁ проходит через точку О и делится ею пополам.

Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб - многогранник составленный из шести одинаковых квадратов.