Площадь квадрата

Доказательство

Дано: квадрат, - сторона квадрата, - площадь квадрата.

Доказать: .

Доказательство:

1 случай

, где - целое число. Возьмем квадрат со стороной 1, разобьем его на равных квадратов (на рисунке = 5).

Площадь большого квадрата равна 1, следовательно, чтобы найти площадь каждого маленького квадратика, нужно площадь большого квадрата разделить на количество маленьких квадратиков, число которых , т.е. получим - площадь каждого маленького квадратика. Сторона каждого маленького квадрата равна ,  значит, равна , т.к. . Получаем

.    (1)

2 случай

- конечная десятичная дробь, содержащая знаков после запятой (если = 0, то - целое число), - целое число. Разобьем данный квадрат со стороной на равных квадратов (на рисунке = 7).

Каждая сторона данного квадрата разобьется на равных частей, тогда сторона любого маленького квадрата равна .

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна , чтобы найти площадь данного квадрата, нужно умножить число маленьких квадратов на их площадь, т.е.  .

3 случай

- бесконечная десятичная дробь. Рассмотрим число , получаемое из отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с - го. Так как число отличается от числа не более чем на , то , откуда 

.   (2)

Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной и площадью квадрата со стороной (смотри рисунок ниже),

т.е. между и , значит:

.      (3)

Если неограниченно увеличивать число , то число будет становиться сколь угодно малым, число будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число сколь угодно мало отличается от числа , . Что и требовалось доказать.