Теорема
Площадь треугольника со сторонами , , выражается формулой , где - полупериметр треугольника. |
Дано: АВС, АВ = , ВС = , АС = , - площадь АВС.
Доказать: , где .
Доказательство:
В любом треугольнике по крайней мере два угла острые (свойство треугольника). Пусть в АВС углы А и В - острые. Тогда основание Н высоты СН лежит на стороне АВ. Пусть СН =, АН =, НВ =.
СНВ и СНА- прямоугольные (т.к. СН - высота), тогда по теореме Пифагора и , откуда , следовательно, , или , при этом (1), тогда , откуда
. (2)
Сложим равенства (1) и (2), получим:
.
Поэтому
При этом , тогда:
Подставляя выражения (4), (5), (6) и (7) в выражение (3), получим:
Следовательно, .
По формуле площади треугольника: , значит,
.
Теорема доказана.
Полученная формула называется формулой Герона.
Понятие площади многоугольника
Теорема, обратная теореме Пифагора
7 класс
Задание 525, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник