Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.

Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема

Доказательство

Дано: ABCD - трапеция, BH и DH₁ - высоты, S - площадь

Доказать: S = (AD + BC) ВН

Доказательство:

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD  и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда 

S_ABD = AD BH, S_BCD = BC DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC BH.

Таким образом,

S = AD BH + BC BH = (AD + BC) BH.

Теорема доказана.