Упражнение 869 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x_1, x_2, x_3, \ldots\) — арифметическая прогрессия.

\(x_n=x_1+d(n-1)\), где \(d\) — постоянная разность прогрессии, тогда:

\(x_2=x_1+d(2-1)=x_1+d\)

\(x_3=x_1+d(3-1)=x_1+2d\)...

Пусть линейная функция имеет вид

\(\small f(x)=kx+b. \)

\(\small f(x_1)=kx_1+b \)

\(\small f(x_2)=kx_2+b=k(x_1+d)+b = \)

\(\small=kx_1+kd+b=(kx_1+b)+kd \)

\( \small f(x_3)=kx_3+b=k(x_1+2d)+b = \)

\(\small=kx_1+2kd+b=(kx_1+b)+2kd \)

Тогда:

\( \small f(x_n)=kx_n+b=k(x_1+d(n-1))+b = \)

\(\small=kx_1+kd(n-1)+b=(kx_1+b)+kd(n-1) \)

\( \small f(x_{n+1})=(kx_1+b)+kdn \)

Рассмотрим разность соседних членов последовательности \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\):

\( f(x_{n+1})-f(x_n)=\)

\( =(kx_1+b)+kdn-\)

\(-((kx_1+b)+kd(n-1)) = \)

\(=(kx_1+b)+kdn-\)

\(-(kx_1+b)-kd(n-1) =\)

\( =kdn-kd(n-1) =\)

\(=kd(n-n-1)=kd\)

Так как \(k\) и \(d\) — постоянные числа, то \(kd\) — постоянное число.

Значит,

\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=kd \]

для любого \(n\), то есть разность соседних членов последовательности \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) постоянна.

Следовательно, последовательность \(f(x_1), f(x_2), \ldots\) является арифметической прогрессией.

Пояснения:

Сначала вспомним правила, которые здесь используются.

Линейная функция имеет общий вид

\[ f(x)=kx+b, \]

где \(k\) и \(b\) — некоторые постоянные числа.

Арифметическая прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

\[a_{n+1}=a_n+d. \]

Чтобы доказать, что некоторая последовательность является арифметической прогрессией, достаточно показать, что разность любых двух соседних её членов одна и та же.

По условию числа \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что существует число \(d\), для которого

\[x_{n+1}=x_n+d. \]

Именно число \(d\) называется разностью этой прогрессии.

Теперь к каждому члену прогрессии \(x_n\) применяется линейная функция \(f(x)\). Тогда вместо \(x_n\) получаем новый член:

\[ f(x_n)=kx_n+b. \]

Нужно понять, будут ли числа \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) тоже идти с постоянной разностью.

Для этого вычисляем разность соседних членов новой последовательности:

\[ f(x_{n+1})-f(x_n). \]

Тогда

\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=kd. \]

Число \(kd\) постоянно, потому что \(k\) — коэффициент линейной функции, а \(d\) — разность исходной арифметической прогрессии. Значит, разность соседних членов новой последовательности всегда одна и та же:

\[ f(x_{n+1})-f(x_n)=kd. \]

Следовательно, последовательность \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots\) имеет постоянную разность. А это и означает, что она является арифметической прогрессией.

Итак, применение линейной функции к членам арифметической прогрессии снова даёт арифметическую прогрессию.