Упражнение 867 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \]

\((2n + 1) - (2n - 1) = 2\)   \(/ : 2\)

\(\frac{1}{2}((2n + 1) - (2n - 1)) = 1\)

\[ x_n=\frac{\frac{1}{2}((2n + 1) - (2n - 1))}{(2n-1)(2n+1)} =\]

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\cancel{2n + 1}}{(2n-1)\cancel{(2n+1)}}-\frac{\cancel{2n - 1}}{\cancel{(2n-1)}(2n+1)}\right) =\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)

Если \(n = 1\), то

\(x_1 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot1-1}-\frac{1}{2\cdot1+1}\right)=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\).

Если \(n = 2\), то

\(x_2 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot2-1}-\frac{1}{2\cdot2+1}\right)=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac13-\frac{1}{5}\right)\).

Если \(n = 3\), то

\(x_2 =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2\cdot3-1}-\frac{1}{2\cdot3+1}\right)=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac15-\frac{1}{7}\right)\).

\(S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n\)

\( S_n=\frac12\left(\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\dots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right) =\)

\( =\frac12\left(1-\cancel{\frac13}+\cancel{\frac13}-\cancel{\frac15}+\cancel{\frac15}-\cancel{\frac17}+\dots+\cancel{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1}\right) =\)

\[ =\frac12\left(1 ^{\color{blue}{\backslash2n+1}} -\frac{1}{2n+1}\right) =\]

\[ =\frac12\cdot\frac{2n+1-1}{2n+1} =\frac{1}{\cancel2}\cdot\frac{\cancel2n}{2n+1}= \]

\[ =\frac{n}{2n+1} \]

Ответ: \( S_n=\frac{n}{2n+1}. \)

Пояснения:

В этой задаче нужно найти сумму первых \(n\) членов последовательности, у которой общий член имеет вид

\[ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. \]

Главный приём здесь — разложить дробь на разность двух более простых дробей:

\(x_n=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).\)

После такой замены сумма превращается в телескопическую. Это значит, что многие соседние слагаемые уничтожаются:

\[ \left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\dots \]

Видно, что \(-\frac13\) сокращается с \(+\frac13\), \(-\frac15\) сокращается с \(+\frac15\), и так далее.

В результате остаются только первое и последнее слагаемые:

\[ 1-\frac{1}{2n+1}. \]

Так как перед суммой стоит множитель \(\frac12\), окончательно получаем:

\[ S_n=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}. \]

Итак, сумма первых \(n\) членов данной последовательности выражается очень простой формулой:

\[ S_n=\frac{n}{2n+1}. \]