Упражнение 676 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(b_n\) и \(b_m\) — члены геометрической прогрессии, \(q\) - ее знаменатель.

Доказать:

\(b_n=b_mq^{\,n-m}\).

Доказательство:

\(b_n=b_1q^{n-1},\)

\(b_m=b_1q^{m-1},\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\)

\(b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}=\)

\(=b_m\cdot\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=\)

\(=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=\)

\(=b_mq^{n-1-m+1}=b_mq^{\,n-m}\)

Пояснения:

Правила, которые используются:

\[b_k=b_1q^{\,k-1}\]

\[\frac{q^a}{q^b}=q^{a-b}\]

\[q^a\cdot q^b=q^{a+b}\]

Так как дана геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\), любой её член выражается через первый по формуле \(\,b_k=b_1q^{k-1}\).

Записываем отдельно выражения для членов с номерами \(n\) и \(m\):

\[b_n=b_1q^{n-1},\quad b_m=b_1q^{m-1}\]

Из второй формулы выражаем \(b_1\), чтобы подставить в первую:

\[b_m=b_1q^{m-1}\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\]

Подставляем найденное \(b_1\) в выражение для \(b_n\):

\[b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}\]

Теперь используем правило степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, то есть \(\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=q^{(n-1)-(m-1)}\).

Получаем:

\[b_n=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=b_mq^{n-m}\]

Следовательно, для любых двух членов геометрической прогрессии выполняется равенство \(\,b_n=b_mq^{\,n-m}\).

а) \(a_2;\ a_4;\ \dots;\ a_{2n};\ \dots\) - последовательность.

\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда

\(a_2=a_1+d\);

\(a_4=a_1+3d\);

\(a_6=a_1+5d\);

\(a_{2n}=a_1+(2n-1)d\).

\(a_{2n + 2}=a_1+(2n + 2 -1)d =\)

\(=a_1+(2n +1)d \).

Разности последовательности:

\(a_4 - a_2=(a_1+3d) - (a_1+d)=\)

\(=\cancel{a_1}+3d - \cancel{a_1}-d =2d\);

\(a_6 - a_4=(a_1+5d) - (a_1+3d)=\)

\(=\cancel{a_1}+5d - \cancel{a_1}-3d =2d\);

\(a_{2n + 2} - a_{2n}=(a_1+(2n +1)d) - (a_1+(2n-1)d)=\)

\(=\cancel{a_1} + (2n + 1)d - \cancel{a_1} - (2n-1)d =\)

\(= (2n + 1)d - (2n-1)d =\)

\(= ((2n + 1) - (2n-1))d =\)

\(= (\cancel{2n} + 1 - \cancel{2n}+1)d =2d.\)

Разность в последовательности одинакова и равна \(2d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.

б) \(a_1-1;\ a_2-1;\ \dots;\ a_n-1;\ \dots\) - последовательность.

\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда

\(a_2-1 = a_1 + d - 1\);

\(a_3-1 = a_1 + 2d - 1\);

\(a_n-1 = a_1 + (n-1)d - 1\);

\(a_{n+1}-1) = a_1 + nd - 1\)

Разности последовательности:

\((a_2-1) - (a_1-1) = (a_1 + d - 1) - (a_1 - 1)= \)

\(= \cancel{a_1} + d - \cancel1 - \cancel{a_1} + \cancel1=d \);

\((a_3-1) - (a_2-1) = (a_1 + 2d - 1) - (a_1 + d - 1)= \)

\(= \cancel{a_1} + 2d - \cancel1 - \cancel{a_1} - d + \cancel1= d \)

\((a_{n+1}-1)-(a_n-1)= (a_1 + nd - 1) - (a_1 + (n-1)d - 1)=\)

\(=\cancel{a_1} + nd - \cancel1 - \cancel{a_1} - (n-1)d + \cancel1 =\)

\(= nd - (n-1)d = \)

\(=\cancel{nd} - \cancel{nd} + d = d\).

Разность в последовательности одинакова и равна \(d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.

в) \(2a_1;\ 2a_2;\ \dots;\ 2a_n;\ \dots\) - последовательность.

\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда

\(2a_2 = 2(a_1 + d) = 2a_1 + 2d\);

\(2a_3 = 2(a_1 + 2d) = 2a_1 + 4d\);

\(2a_n = 2(a_1 + (n-1)d) = \)

\(=2a_1 + 2(n-1)d\);

\(2a_{n+1} = 2(a_1 + nd) = 2a_1 + 2nd\);

Разности последовательности:

\(2a_2 - 2a_1= \cancel{2a_1} + 2d - \cancel{2a_1} = 2d\);

\(2a_3 - 2a_2= (2a_1 + 4d) - (2a_1 + 2d)=\)

\( =\cancel{2a_1} + 4d - \cancel{2a_1} - 2d=2d\);

\(2a_{n+1} - 2a_n= (2a_1 + 2nd) - (2a_1 + 2(n-1)d)=\)

\(=\cancel{2a_1} + 2nd - \cancel{2a_1} - 2(n-1)d)=\)

\(=2nd -2(n-1)d = \)

\(=\cancel{2nd} - \cancel{2nd} + 2d = 2d\).

Разность в последовательности одинакова и равна \(2d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.

г) \(a_1^2;\ a_2^2;\ \dots;\ a_n^2;\ \dots\) - последовательность.

\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда

\(a_2^2 = (a_1 + d)^2 =\)

\(=a_1^2 + 2a_1d + d^2\);

\(a_3^2 = (a_1 + 2d)^2 =\)

\(=a_1^2 + 4a_1d + 4d^2\);

\(a_n^2 = (a_1 + (n-1)d)^2 =\)

\(=a_1^2 + 2a_1(n-1)d + ((n-1)d)^2\);

\(a_{n+1}^2 = (a_1 + nd)^2 =\)

\(=a_1^2 + 2a_1nd + (nd)^2\).

Разности последовательности:

\(a_2^2 - a_1^2 = \cancel{a_1^2} + 2a_1d + d^2 - \cancel{a_1^2} =\)

\(=2a_1d + d^2 = d(2a_1 + d)\);

\(a_3^2 - a_2^2 = (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) - (a_1^2 + 2a_1d + d^2) =\)

\(= \cancel{a_1^2} + 4a_1d + 4d^2 - \cancel{a_1^2} - 2a_1d - d^2 =\)

\(=2a_1d + 3d^2 = d(2a_1 + 3d)\).

\(a_2^2 - a_1^2 \neq a_3^2 - a_2^2\)

Разность в последовательности не постоянна, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Формула арифметической прогрессии:

\(a_{n+1} = a_n + d\).

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна.

а) Члены с чётными номерами.

Рассмотрим последовательность \(a_2, a_4, a_6, \dots\).

\[a_2=a_1+d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_6=a_1+5d.\]

Разность между соседними членами равна:

\[a_4-a_2=2d,\quad a_6-a_4=2d.\]

Следовательно, это арифметическая прогрессия.

б) Вычитание одного и того же числа.

Если из каждого члена арифметической прогрессии вычесть одно и то же число, разность между соседними членами не изменится.

Поэтому последовательность \(a_n-1\) является арифметической прогрессией.

в) Умножение на одно и то же число.

При умножении каждого члена арифметической прогрессии на одно и то же число разность также умножается на это число.

Поэтому последовательность \(2a_n\) является арифметической прогрессией.

г) Возведение в квадрат.

Разность квадратов соседних членов равна:

\[a_{n+1}^2-a_n^2=d(2a_n+d).\]

Это выражение зависит от \(n\), следовательно, разность не является постоянной.

Поэтому последовательность квадратов членов арифметической прогрессии, вообще говоря, не является арифметической.