Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№675 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Докажите, что если \((a_n)\) — геометрическая прогрессия, то:
а) \(\,a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5;\)
б) \(\,a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5},\) где \(\,n>3.\)
№675 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен \(60^\circ\).
№675 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Вспомните:
№675 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№675 учебника 2023-2026 (стр. 187):
а) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.
Доказать:
\(\,a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5\).
Доказательство:
\(a_n=a_1q^{n-1},\)
\(a_2=a_1q,\)
\(a_6=a_1q^5,\)
\(a_3=a_1q^2,\)
\(a_5=a_1q^4\)
\(a_1q\cdot a_1q^5=a_1q^2\cdot a_1q^4\)
\(a_1^2q^6=a_1^2q^6\), значит
\[a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5.\]
б) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.
Доказать:
\(\,a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5},\) где \(\,n>3.\)
Доказательство:
\(a_n=a_1q^{n-1}\)
\(a_{n-3}=a_1q^{n-4},\)
\(a_{n+8}=a_1q^{n+7},\)
\(a_n=a_1q^{n-1},\)
\(a_{n+5}=a_1q^{n+4}\)
\(a_1q^{n-4}\cdot a_1q^{n+7}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n+4}\)
\(a_1^2q^{(n-4+n+7)}=a_1^2q^{(n-1+n+4)}\)
\(a_1^2q^{2n+3}=a_1^2q^{2n+3}\), значит
\[a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5}.\]
Пояснения:
Правила, которые используются:
- формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:
\[a_n=a_1q^{\,n-1};\]
- свойство степени:
\[q^m\cdot q^k=q^{m+k}.\]
№675 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Пусть углы треугольника образуют арифметическую прогрессию:
\[a-d,\ a,\ a+d.\]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
\[(a-d)+a+(a+d)=180^\circ\]
\[a-\cancel d+a+a+\cancel d=180^\circ\]
\[3a=180^\circ\]
\(a = \dfrac{180^\circ}{3}\)
\[a=60^\circ.\]
Средний угол равен \(60^\circ\), то есть один из углов треугольника равен \(60^\circ\). Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Если три числа образуют арифметическую прогрессию, то их можно представить в виде
\[a-d,\ a,\ a+d.\]
2) Сумма внутренних углов любого треугольника равна \(180^\circ\).
Вернуться к содержанию учебника