Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№665 учебника 2023-2026 (стр. 185):
Запишите формулу суммы первых \(n\) членов последовательности \((a_n)\), если:
а) \(a_n=2n+1\);
б) \(a_n=3-n.\)
№665 учебника 2014-2022 (стр. 175):
Докажите, что при любом натуральном \(n\) верно равенство
\[1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.\]
№665 учебника 2023-2026 (стр. 185):
Вспомните:
№665 учебника 2014-2022 (стр. 175):
Вспомните:
№665 учебника 2023-2026 (стр. 185):
а) \(a_n=2n+1\)
\(a_1=2\cdot1+1 = 2 + 1=3\)
Последовательность является арифметической так как:
\(d=a_{n}-a_{n-1}=\)
\( =(2n+1)-(2(n-1)+1)=\)
\(=2n + 1 - (2n - 2 + 1) = \)
\(=2n + 1 - (2n - 1) = \)
\(=\cancel{2n} + 1 - \cancel{2n} + 1 = 2\) - не зависит от \(n\).
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\)
\(=\dfrac{3+2n+1}{2}\cdot n=\)
\(=\dfrac{2n+4}{2}\cdot n=\dfrac{\cancel2(n+2)}{\cancel2}\cdot n=\)
\(=(n + 2)\cdot n = n^2 + 2n\).
Ответ: \(S_n=n^2+2n\).
б) \(a_n=3-n\)
\(a_1=3-1=2\)
Последовательность является арифметической так как:
\(d=a_n-a_{n-1}=\)
\(=(3-n)-(3-(n-1))=\)
\(=3 - n - (3 - n + 1)=\)
\(=3 - n - (4 + n) = \)
\(=3 - \cancel n - 4 - \cancel n =-1\) - не зависит от \(n\).
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\)
\( = \dfrac{2+3-n}{2}\cdot n=\)
\( = \dfrac{5-n}{2}\cdot n= \dfrac{(5-n)n}{2}=\)
\(=\dfrac{5n-n^2}{2}\).
Ответ: \(S_n=\dfrac{5n-n^2}{2}\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Если разность соседних членов постоянна, то последовательность является арифметической.
2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).
а) Пояснение.
Последовательность \(a_n=2n+1\) имеет постоянную разность \(d=2\), значит, это арифметическая прогрессия. Подставляя первый и \(n\)-й члены в формулу суммы, получаем \(S_n=n^2+2n\).
б) Пояснение.
Последовательность \(a_n=3-n\) имеет постоянную разность \(d=-1\), значит, это арифметическая прогрессия. Подставляя первый и \(n\)-й члены в формулу суммы, получаем \(S_n=\dfrac{5n-n^2}{2}\).
№665 учебника 2014-2022 (стр. 175):
\(1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2\)
1) При \(n=1\):
\(1\cdot(3\cdot1+1)=1\cdot(1+1)^2\)
\(3 + 1 = 2^2\)
\(4 = 4\) - верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\):
\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.\]
Докажем для \(n=k+1\):
\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=\]
\[=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=\]
\[=(k+1)\left(k(k+1)+(3k+4)\right)=\]
\[=(k+1)\left(k^2+k+3k+4\right)=\]
\[=(k+1)\left(k^2+4k+4\right)\]
\[=(k+1)(k+2)^2\]
\[=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2.\]
Равенство верно при \(n =k+1\). Значит, оно верно при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:
а) доказать для \(n=1\);
б) предположить верность для \(n=k\) и вывести из этого верность для \(n=k+1\).
2) Вынесение общего множителя:
\(ab+ac=a(b+c)\).
3) Формула квадрата суммы:
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]
Вернуться к содержанию учебника