Упражнение 506 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть число состоит из десятков \(a\) и единиц \(b\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 10a+b=4(a+b),\\ 10a+b=2ab \end{cases}\) 

\(\begin{cases} 10a+b=4a+4b,\\ 10a+b=2ab \end{cases}\) 

\(\begin{cases} 10a-4a=4b - b,\\ 10a+b=2ab \end{cases}\) 

\(\begin{cases} 6a=3b,  / : 3 \\ 10a+b=2ab \end{cases}\) 

\(\begin{cases} b= 2a, \\ 10a+2a=2a\cdot 2a \end{cases}\) 

\(10a+2a=2a\cdot 2a\)

\(12a = 4a^2\)

\(4a^2 - 12a = 0\)

\(4a(a - 3) = 0\)

\(a = 0\) - не удовлетворяет условию.

или  \(a - 3 = 0\)

        \(a = 3\)

Если \(a = 3\), то

\(b=2\cdot3=6\)

Ответ: число 36.

Пояснения:

Любое двузначное число можно представить в виде \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. Это стандартный приём при решении задач на цифры.

Условие «в 4 раза больше суммы его цифр» записывается уравнением:

\[10a+b=4(a+b).\]

Условие «в 2 раза больше произведения его цифр» даёт второе уравнение:

\[10a+b=2ab.\]

Из этих уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки. Из первого уравнения находим: \(b=2a\). Это значительно упрощает задачу.После подстановки во второе уравнение получается квадратное уравнение относительно \(a\). Из его решений подходит только \(a=3\), так как цифра десятков не может быть равна нулю.

В результате получаем число \(36\), которое удовлетворяет обоим условиям задачи.

\( 6x(x+8) - (5x - 27)(x + 17) > 0 \)

\(6x^2 + 48x- (5x^2 + 85x - 27x - 459) > 0 \)

\(6x^2 + 48x- (5x^2 + 58x - 459) > 0 \)

\(6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0 \)

\((6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0 \)

\(x^2 - 10x + 459> 0 \)

\(x^2 - 10x +25 + 434> 0 \)

\((x-5)^2 + 434> 0 \) - верно, так как сумма неотрицательного числа и положительного всегда больше нуля, а \((x-5)^2\ge0\) и  \(434> 0 \), следовательно, \( 6x(x+8) - (5x - 27)(x + 17) > 0\) для всех \(x.\)

Пояснения:

Чтобы доказать, что неравенство верно при всех значениях переменной, преобразуем левую часть, используя следующие правила:

Умножение одночлена на многочлен:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Раскрытие скобок:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак \("-"\), надо заменить этот знак на \("+"\), поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Также помним, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. И сумма неотрицательного числа и положительного всегда больше нуля.