Упражнение 378 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((5;\,8)\) - центр окружности, \(r = 4\).

Уравнение окружности:

\((x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 4^2\)

\((x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16\)

б) 1) Окружность, симметричная относительно оси ординат:

\((x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 16\)

\((-5;\,8)\) - центр окружности, \(r = 4\).

2) Окружность, симметричная относительно оси абсцисс:

\((x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 16\)

\((5;\,-8)\) - центр окружности, \(r = 4\).

3) Окружность, симметричная относительно начала координат:

\((x + 5)^2 + (y + 8)^2 = 16\)

\((-5;\,-8)\) - центр окружности, \(r = 4\).

Пояснения:

Общий вид уравнения окружности:

\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\),

где \((a; b)\) - координаты центра окружности, \(r\) - ее радиус.

Основные правила симметрии:

1. Симметрия относительно оси абсцисс (оси \(x\)): координата \(x\) остаётся той же, \(y\) меняет знак:

\((x, y) \to (x, -y)\).

2. Симметрия относительно оси ординат (оси \(y\)): координата \(x\) меняет знак, \(y\) остаётся той же:

\((x, y) \to (-x, y)\).

3. Симметрия относительно начала координат: знаки меняют обе координаты:

\((x, y) \to (-x, -y)\).

а) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}\)

\( 144 - 9x^2 > 0\)

\(y = -9x^2 + 144\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\( -9x^2 + 144 = 0\)

\( -9x^2 = -144\)

\(x^2 = \frac{-144}{-9}\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm4\)

Ответ: \(x \in (-4,\; 4).\)

б) \(y = \dfrac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}\).

1) \( 16 - 24x + 9x^2 \ge 0\)

\(y = 9x^2 - 24x + 16\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(9x^2 - 24x + 16 = 0\)

\(D = (-24)^2 - 4\cdot9\cdot16= \)

\(= 576 - 576 = 0\) - 1 корень.

\(x = \frac{24}{2\cdot9} = \frac{24}{18} = \frac43 = 1\frac13\).

2) \( x + 2 \ne 0\)

    \( x \ne -2. \)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; + \infty ).\)

Пояснения:

Общие правила.

1. Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательно:

\[\sqrt{A} \text{ определён} \iff A \ge 0.\]

2. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю:

\[\frac{1}{B} \text{ определена} \iff B \ne 0.\]

3. Если в знаменателе стоит корень \(\sqrt{A}\), то нужно одновременно: \(\sqrt{A}\ne 0\) и \(A \ge 0\), то есть \(A>0\).

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\).

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) арифметический квадратный корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (положительно).

В пункте б) арифметический квадратный корень находится в числителе, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом знаменатель должен быть отличен от нуля.