Упражнение 288 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0\)

\((x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0\)

или  \(x + 48 = 0\)

        \(x = -48\)

или  \(x - 37 = 0\)

        \(x = 37\)

или  \(x - 42 = 0\)

        \(x = 42\)

Ответ:  \(x \in (-48; 37) \cup (42; + \infty)\).

б) \((x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0\)

\((x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)=0\)

или  \(x + 0,7 = 0\)

        \(x = -0,7\)

или  \(x - 2,8 = 0\)

        \(x = 2,8\)

или  \(x - 9,2 = 0\)

        \(x = 9,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{a^{3} - 9a}{a^{2} + a - 12}\)

\(a^{3} - 9a = 0\)

\(a(a^{2} - 9) =0\)

\(a(a - 3)(a + 3) = 0\)

\(a = 0\) или \(a -3 = 0\) или \(a + 3 = 0\)

                  \(a = 3\)                \(a = -3\)

Если \(a = 0\), то

\(a^{2} + a - 12 = 0^2 + 0 -12 =\)

\(=-12 \ne 0\).

Если \(a = 3\), то

\(a^{2} + a - 12 = 3^2 + 3 -12 = 0\).

Если \(a = -3\), то

\(a^{2} + a - 12 = (-3)^2 - 3 -12 =\)

\(= -6 \ne 0\).

Ответ: \( a = 0,\; -3. \)

б) \(\dfrac{a^{5} + 2a^{4}}{a^{3} + a + 10} = 0\)

\(a^{5} + 2a^{4} =0\)

\(a^{4}(a + 2) = 0\)

\(a^4 = 0\) или \(a + 2 = 0\)

\(a = 0\)          \(a = -2\)

Если \(a = 0\), то

\(a^{3} + a + 10 = 0^3 + 0 + 10 = 10 \ne 0.\)

Если \(a = -2\), то

\(a^{3} + a + 10 = (-2)^3 -2  + 10 = 0.\)

Ответ: \( a = 0. \)

в) \(\dfrac{a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3}}{a^{4} - 16} = 0\)

\( a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3} =0\)

\(a^{3}(a^{2} - 4a + 4) =0\)

\(a^{3}(a - 2)^{2}=0\)

\(a^3 = 0\)  или \((a - 2)^2 = 0\)

\(a = 0\)            \(a - 2 = 0\)

                       \(a = 2\)

Если \(a = 0\), то

\(0^{4} - 16 = -16 \ne 0\)

Если \(a = 2\), то

\(2^{4} - 16 = 16 -16 = 0 \ne 0\)

Ответ: \( a = 0. \)

Пояснения:

1. Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому решение состоит из двух этапов: — найти все нули числителя; — исключить те значения, при которых знаменатель обращается в ноль.

2. Во всех трёх пунктах при решении уравнений использовалось разложение многочленов на множители:

\[ a^{3} - 9a = a(a - 3)(a + 3), \]

\[ a^{5} + 2a^{4} = a^{4}(a + 2), \]

\[ a^{5} - 4a^{4} + 4a^{3} = a^{3}(a - 2)^{2}. \]

Затем при решении учитывали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.