Упражнение 271 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^2 + tx + 18 = 0\)

\(D = t^2 - 4\cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144\)

\(t^2 - 144 < 0\)

\(y = t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(t^2 - 144 = 0\)

\(t^2 = 144\)

\(t = \pm \sqrt{144}\)

\(t = \pm 12\)

Ответ: \(t\in (-12; 12)\).

б) \(4x^2 + 4tx + 9 = 0\)

\(D = (4t)^2 - 4\cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144\)

\(16t^2 - 144 < 0\)

\(y = 16t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(16t^2 - 144 = 0\)

\(16t^2 = 144\)

\(t^2 = \frac{144}{16}\)

\(t^2 = 9\)

\(t = \pm \sqrt9\)

\(t = \pm3\)

Ответ: \(t\in (-3; 3)\).

Пояснения:

Основное правило:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:

\[D = b^2 - 4ac < 0.\]

Решение неравенств вида

\(ax^2 + с > 0\):

1) находим корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

Пусть второе число равно \(x\). Тогда первое число равно \(x + 5\). Известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго.

Составим уравнение:

\((x + 5)^{3} - x^{3} = 3185.\)

\(\cancel{x^{3}} + 15x^{2} + 75x + 125 -\cancel{x^{3}} = 3185.\)

\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)

\(15x^{2} + 75x + 125 - 3185 = 0.\)

\(15x^{2} + 75x - 3060 = 0\)   \(/ : 15\)

\(x^{2} + 5x - 204 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -204\)

\(D = b^2 - 4 ac= \)

\(=5^{2} - 4 \cdot1 \cdot (-204) =\)

\(=25 + 816 = 841.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt  D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 29.\)

\(x_1 = \dfrac{-5 + 29}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2} = 12.\)

\(x_2 = \dfrac{-5 - 29}{2\cdot1}=\dfrac{-34}{2} = -17.\)

1) Если \(12\) - второе число, то

\(12 + 5= 17\) - первое число.

2) Если \(-17\) - второе число, то

\(-17 + 5= -12\) - первое число.

Ответ: числа \(12\) и \( 17\) или \(-17\) и \( -12\).

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения. Второе число обозначаем \(x\), а первое - \(x + 5\). Согласно условию, куб первого числа на 3185 больше куба второго, составляем уравнение:

\[(x+5)^3 - x^3 = 3185.\]

По формуле куба суммы:

\((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\)

В задаче: \(a = x\), \(b = 5\). Поэтому:

\((x + 5)^{3} = x^{3} + 15x^{2} + 75x + 125.\)

После раскрытия куба суммы выражение упрощается, и кубы сокращаются:

\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)

Полученное квадратное уравнение упрощается и решается по формуле корней квадратного уравнения. Оба корня подходят, т.к. числа могут быть как положительными, так и отрицательными.