Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№187 учебника 2023-2026 (стр. 68):
Докажите, что:
а) произведение двух чётных функций является чётной функцией;
б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная;
в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.
№187 учебника 2014-2022 (стр. 61):
Найдите все точки графика функции \(y=\dfrac{8x-7}{x}\), у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.
№187 учебника 2023-2026 (стр. 68):
Вспомните:
№187 учебника 2014-2022 (стр. 61):
Вспомните:
№187 учебника 2023-2026 (стр. 68):
а) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) чётные, тогда
\( f(-x)=f(x), \)
\(g(-x)=g(x). \)
Рассмотрим произведение:
\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)
\( y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\)
\(=f(x)\cdot g(x)=y(x). \)
\( y(-x)=y(x),\) значит, произведение двух чётных функций является чётной функцией.
б) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) нечётные, тогда
\( f(-x)=-f(x), \)
\(g(-x)=-g(x). \)
Рассмотрим произведение:
\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)
\( y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\)
\(=(-f(x))\cdot(-g(x))=\)
\(=f(x)g(x)=y(x). \)
\( y(-x)=y(x),\) значит, произведение двух нечётных функций является чётной функцией.
в) Пусть функция \(f(x)\) — чётная, а \(g(x)\) — нечётная, тогда
\( f(-x)=f(x), \)
\(g(-x)=-g(x). \)
Рассмотрим произведение:
\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)
\( y(-x)=f(-x)g(-x)=\)
\(=f(x)\cdot(-g(x))=\)
\(=-f(x)g(x)=-y(x). \)
\( y(-x)=-y(x), \) значит, произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.
Пояснения:
1. Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) (симметрия относительно оси \(Oy\)).
2. Нечётная функция удовлетворяет \(f(-x)=-f(x)\) (симметрия относительно начала координат).
3. Алгебраические свойства:
— произведение двух одинаковых знаков (оба «чётные» или оба «нечётные») даёт чётность;
— произведение разных знаков (одна - "четная", а другая - "нечетная") даёт нечётность.
Это полностью согласуется с вычислениями.
№187 учебника 2014-2022 (стр. 61):
\[ y=\frac{8x-7}{x}=8-\frac{7}{x}. \]
Чтобы \(y\) было целым числом, дробь \(\dfrac{7}{x}\) должна быть целым числом, значит, \(x\) — делитель числа 7.
Делители числа 7:
\[ x=\pm 1,\; \pm 7. \]
1) Если \(x=1\), то
\[ y=8-\frac{7}{1}=1 \]
Точка: \((1,\,1)\)
2) \(x=-1\): \[ y=8-\frac{7}{-1}=8+7=15 \]
Точка: \((-1,\,15)\)
3) \(x=7\): \[ y=8-\frac{7}{7}=8-1=7 \] Точка: \((7,\,7)\)
4) \(x=-7\): \[ y=8-\frac{7}{-7}=8+1=9 \] Точка: \((-7,\,9)\)
Ответ: \((1; 1),\; (-1; 15),\)
\((7; 7),\; (-7; 9). \)
Пояснения:
Для поиска целых или натуральных решений рационального уравнения принято выделять целую часть, то есть в данном случае приводим функцию к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x} + n\). При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:
\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).
Чтобы условие задачи было выполнимо, оставшаяся дробь \(\dfrac{b}{a}\) должна быть целым числом, тогда \(a\) — делитель \(b\).
В нашем случае \(a=7\), поэтому проверяем только делители числа 7. На каждом из них получается целое значение функции.
Вернуться к содержанию учебника