Упражнение 185 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(y=\dfrac{1}{9}x^{3}\)

2) \(y=-\dfrac{1}{9}x^{3}\)

Функция \(y=\dfrac{1}{9}x^{3}\) возрастает на \((-\infty; + \infty)\).

Функция \(y=-\dfrac{1}{9}x^{3}\) убывает на \((-\infty; + \infty)\).

Пояснения:

Функции вида \(y=ax^{3}\) всегда монотонны на всей области определения.

— если \(a>0\), функция возрастает при всех \(x\);

— если \(a<0\), функция убывает при всех \(x\).

1) \(y=\dfrac{15}{x-3}\) - гипербола.

2) \(y=\dfrac{8x-5}{25}\) - прямая.

3) \(y=\dfrac{37+x}{37-x}\) - гипербола.

4) \(y=\dfrac{8x-40}{5x-25}=\frac{8(x-5)}{5(x-5)}=\frac{8}{5}\) - прямая, параллельная оси \(x\) (\(x\ne 5\)).

Ответ: гиперболами являются функции 1 и 2.

Пояснения:

Гипербола является графиком дробно-линейной функции. Дробно-линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\), где \(x\) - переменная, \(a, b, c, d\) - произвольные числа, причем \(c \ne 0\) и \(ad - bc \ne 0\).

Ограничения \(c \ne 0\) и \(ad - bc \ne 0\) важны. Если \(c = 0\), то получим линейную функцию, графиком которой является прямая (смотри пункт 3), а при \(ad - bc = 0\) - сократимую дробь, значение которой равно \(\dfrac{b}{d}\), то есть также линейную функцию, графиком  которой является прямая параллельная оси \(x\) (смотри пункт 4\).