Упражнение 31 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Если \(c > 1\), то \(\sqrt{c} < c\).

б) Если \(0 < c < 1\), то \(\sqrt{c} > c\).

\(\sqrt{c} = c\) при \(c = 0\) и \(c = 1\).

Пояснения:

Пояснение к пункту а):

Возьмём любое число больше 1, например \(c = 4\): \[ \sqrt{4} = 2 < 4. \] Это справедливо для всех \(c > 1\). Значит: \[ \sqrt{c} < c. \]

Пояснение к пункту б):

Если \(0 < c < 1\), например \(c = 0{,}25\): \[ \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25. \] Так происходит для всех дробей между 0 и 1, значит: \[ \sqrt{c} > c. \]

Когда \(\sqrt{c} = c\)?

Решим уравнение:

\[ \sqrt{c} = c. \] Возведём обе стороны в квадрат: \[ c = c^2. \] \[ c^2 - c = 0. \] \[ c(c - 1)=0. \]

Отсюда \(c = 0\) или \(c = 1\).

а) \(x^2 + 7x + 12 = 0\)

\(D = b^2 - 4ac =7^2 - 4\cdot 1 \cdot 12=\)

\(= 49 - 48 = 1\); \(\sqrt{D}=1\).

\(x =\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-7 - 1}{2} = -4\)

\(x_2 = \frac{-7 + 1}{2} = -3\).

Ответ: \(-4; -3\).

б) \(x^2 - 2x - 35 = 0\)

\(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-35) =\)

\(=4 + 140 = 144\); \(\sqrt{D}=12\).

\(x =\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1 = \frac{2 - 12}{2} = -5\)

\(x_2 = \frac{2 + 12}{2} = 7\).

Ответ: \(-5; 7\).

в) \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3)=\)

\(= 25 + 24 = 49\); \(\sqrt{D}=7\).

\(x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3\).

Ответ: \(-\frac{1}{2}; 3\).

г) \(3x^2 - 8x + 5 = 0\)

\(D = b^2 - 4ac= (-8)^2 - 4\cdot 3 \cdot 5 =\)

\(=64 - 60 = 4\); \(\sqrt{D}=2\).

\(x_1 = \frac{8 - 2}{6} = 1\)

\(x_2 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\).

Ответ: \(1; 1\frac{2}{3}\).

Пояснения:

Для решения квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) используется формула:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}, \quad \text{где } D=b^2-4ac. \]

а) В уравнении \(x^2+7x+12=0\) дискриминант равен 1, корни получились целыми числами \(-4\) и \(-3\).

б) В уравнении \(x^2-2x-35=0\) дискриминант оказался равным 144, это полный квадрат, поэтому корни целые: \(-5\) и \(7\).

в) В уравнении \(2x^2-5x-3=0\) дискриминант равен 49, из чего получили корни \(-\tfrac{1}{2}\) и \(3\).

г) В уравнении \(3x^2-8x+5=0\) дискриминант равен 4, а корни дробные: \(1\) и \(\tfrac{5}{3}\).

Ответы: а) \(x=-4, -3\); б) \(x=-5, 7\); в) \(x=-\tfrac{1}{2}, 3\); г) \(x=1, \tfrac{5}{3}\).