Упражнение 943 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5(x - 1) + 7 \leq 1 - 3(x + 2)\)

\(5x - 5 + 7 \leq 1 - 3x - 6 \)

\(5x + 2 \leq -3x - 5 \)

\(5x + 3x \leq - 5 - 2 \)

\(8x \leq -7 \)   \(/ : 8\)

\(x \leq -\frac{7}{8}\)

Ответ: \((-\infty; -\frac78]\).

б) \(4(a + 8) - 7(a - 1) < 12\)

\(4a + 32 - 7a + 7 < 12 \)

\(-3a + 39 < 12 \)

\(-3a < 12 - 39 \)

\(-3a < -27\)   \(/ : (-3)\)

\(a > 9\).

Ответ: \((9; +\infty)\).

в) \(4(b - 1,5) - 1,2 \geq 6b - 1\)

\(4b - 6 - 1,2 \geq 6b - 1 \)

\(4b - 7,2 \geq 6b - 1 \)

\(4b - 6b \geq - 1 + 7,2 \)

\(-2b \geq 6,2 \)   \(/ : (-2)\)

\(b \leq -3,1\).

Ответ: \((-\infty; -3,1]\).

г) \(1,7 - 3(1 - m) \leq -(m - 1,9)\)

\(1,7 - 3 + 3m \leq -m + 1,9 \)

\(3m - 1,3 \leq -m + 1,9 \)

\(3m + m \leq 1,9 + 1,3 \)

\(4m \leq 3,2 \)   \(/ :4\)

\(m \leq 0,8\).

Ответ: \((-\infty; 0,8]\).

д) \(4x > 12(3x - 1) - 16(x + 1)\)

\(4x > 36x - 12 - 16x - 16 \)

\(4x > 20x - 28 \)

\(4x - 20x > - 28 \)

\(-16x > -28 \)   \( : (-16)\)

\(x < \frac{28}{16}\)

\(x < \frac{7}{4}\)

\(x < 1,75\)

Ответ: \((-\infty; 1,75)\).

е) \(a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 - a)\)

\(a + 2 < 10a + 40 + 52 - 13a \)

\(a + 2 < -3a + 92 \)

\(a + 3a < 92 - 2 \)

\(4a < 90 \)   \(/ : 4\)

\(a < 22,5\)

Ответ: \((-\infty; 22,5)\).

ж) \(6y - (y + 8) - 3(2 - y) \leq 2\)

\(6y - y - 8 - 6 + 3y \leq 2 \)

\(8y - 14 \leq 2\)

\(8y \leq 2 + 14\)

\(8y \leq 16 \)   \(/ : 8\)

\(y \leq 2\).

Ответ: \((-\infty; 2]\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(3(5-4x)+2(14+x)>0\)

\(15-12x+28+2x>0\)

\(43-10x>0\)

\(-10x>-43\)   \(/ : (-10)\)

\(x<\frac{43}{10}\)

\(x < 4,3\)

\(x \in (-\infty; 4,3)\).

Ответ: натуральные числа \(1,2,3,4.\)

б) \((x+1)(x-1)-(x^{2}-3x)\le 14\)

\(\cancel{x^{2}}-1-\cancel{x^{2}}+3x\le 14\)

\(-1+3x\le 14\)

\(3x\le 14 + 1\)

\(3x\le 15\)  \(/ : 3\)

\(x\le 5\)

\(x \in (-\infty; 5]\).

Ответ: натуральные числа \(1,2,3,4,5.\)

Пояснения:

Чтобы определить, какие натуральные значения \(x\) удовлетворяют неравенству, нужно решить неравенство, затем из промежутка, который является решением этого неравенства выбрать натуральные значения.

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку и эта точка не входит в промежуток.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку и эта точка входит в промежуток.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.