Упражнение 926 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \([-7; 0]\) и \([-3; 5]\)

\([-7; 0] \cup [-3; 5] = [-7; 5]\)

Ответ: \( [-7; 5]\).

б) \((-4; 1)\) и \((10; 12)\)

\((-4; 1) \cup (10; 12)\)

Ответ: \((-4; 1) \cup (10; 12)\).

в) \((-\infty; 4)\) и \((10; +\infty)\)

\((-\infty; 4) \cup (10; +\infty)\)

Ответ: \((-\infty; 4) \cup (10; +\infty)\).

г) \([3; +\infty)\) и \((8; +\infty)\)

\([3; +\infty) \cup (8; +\infty) = [3; +\infty)\).

Ответ: \([3; +\infty)\).

Пояснения:

Объединение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них.

а) \((a+b)\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4\),

\(a>0\) и \(b>0\).

1) \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)   \(/\times 2\)

\(a + b \ge2\sqrt{ab}\)

2) \(\frac{\frac1a + \frac1b}{2} \ge \sqrt{\frac1a \cdot \frac1b}\)  \(/\times 2\)

\(\frac1a + \frac1b \ge  2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)

3) Перемножим неравенства:

\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)

\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}}\)

\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\sqrt{1}\)

\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\displaystyle \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\),

\(a>0\) и \(b>0\).

\(\displaystyle \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}} - (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 0\),

\( \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\ge0 \)  \(/\times a^2b^2\)

\( a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\ge0. \)

\( a^{3}+b^{3}-ab^2- a^2b\ge0. \)

\( (a^{3}+b^{3})-ab(a + b)\ge0. \)

\((a + b)(a^2 -ab +b^2) - ab(a+b) \ge 0\)

\((a + b)(a^2 -ab +b^2- ab) \ge 0\)

\((a + b)(a^2 - 2ab +b^2) \ge 0\)

\((a + b)(a - b)^2 \ge 0\) - верно при любых \(a\) и \(b\).

Пояснения:

а) При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.

Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.

б) Чтобы выполнить доказательство, мы нашли разность левой и правой частей неравенства, а затем учли, то что если \(a - b \ge 0\), то \(a \ge b\).

Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.

Также при доказательстве используем то, что:

- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.