Упражнение 829 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть через обе трубы бассейн наполняется за \(x\) ч. Тогда через одну первую трубу бассейн наполнится за \(x+9\) ч, через одну вторую трубу за \((x+9)+7 = x+16\) ч.

Производительность первой трубы \(\frac{1}{x+9}\), второй - \(\frac{1}{x+16}\), общая производительность - \(\frac{1}{x}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+16} = \frac{1}{x}\) \(/\times x(x+9)(x+16)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x + 9\neq 0\) и \(x + 16\neq 0\)

               \(x\neq-9\)        \(x\neq-16\)

\(x(x+16) + x(x + 9) = (x+9)(x+16)\)

\(x^2 + 16x + x^2 + 9x =x^2 + 16x + 9x + 144\)

\(2x^2 + 25x = x^2 + 25x + 144\)

\(2x^2 + 25x - x^2 - 25x - 144 = 0\)

\(x^2 -144 = 0\)

\(x^2 = 144\)

\(x = \pm\sqrt {144}\)

\(x_1 = 12\)

\(x_2 = -12\) - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: бассейн наполнится через обе трубы за 12 ч.

Пояснения:

Ввели переменную \(x\) — время наполнения двумя трубами. Через первую трубу бассейн наполняется на 9 часов дольше, через вторую — на 16 часов дольше. Тогда через одну первую трубу бассейн наполнится за \(x+9\) ч, через одну вторую трубу за \((x+9)+7 = x+16\) ч.

Составили дробное рациональное уравнение через производительности:

\(\tfrac{1}{x+9}+\tfrac{1}{x+16}=\tfrac{1}{x}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = 144\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt {144} = 12\) и \(x_2 = -\sqrt {144} = -12\). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, бассейн наполнится через обе трубы за 12 ч.

а) \(\dfrac{1 ^{\color{blue}{\backslash x}} + \dfrac{a - x}{x}}{ax} =\)

\(=\dfrac{\dfrac{\cancel x+a - \cancel x}{x}}{ax} = \dfrac{\dfrac{a}{x}}{ax} =\)

\(=\dfrac{a}{x} : ax=\dfrac{\cancel a}{x} \cdot \dfrac{1}{\cancel ax}= \dfrac{1}{x^2}\).

б) \(\dfrac{\dfrac{a^2 - b^2}{a^2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash a^2}}}{2a^2b^2} =\)

\(=\dfrac{\dfrac{\cancel{a^2} - b^2 - \cancel{a^2}}{a^2}}{2a^2b^2} = \dfrac{\dfrac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2} =\)

\(=-\dfrac{b^2}{a^2} : 2a^2b^2=-\dfrac{\cancel{b^2}}{a^2} \cdot \dfrac{1}{2a^2\cancel{b^2}}= \)

\(=-\dfrac{1}{2a^4}\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}= \frac{a\cdot d}{b\cdot c}.\)

4) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).