Упражнение 828 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть за \(x\) дней два комбайна вместе уберут всё поле. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(x+9\) дней, второй комбайн уберет поле один за \(x+4\) дня.

Совместная производительность: \(\frac{1}{x}\),

производительность первого - \(\frac{1}{x+9}\),

производительность второго - \(\frac{1}{x+4}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}\)   \(/\times x(x+9)(x+ 4)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x + 9\neq 0\) и \(x + 4\neq 0\)

               \(x\neq-9\)        \(x\neq-4\)

\((x+9)(x+4)=x(x+4)+x(x+9)\)

\(x^2 + 4x + 9x + 36 = x^2 + 4x + x^2 + 9x\)

\(x^2 + 13x+36=2x^2 + 13x\)

\(x^2 +13x + 36 -2x^2 - 13 x=0\)

\(-x^2 + 36 = 0\)

\(x^2 = 36\)

\(x = \pm\sqrt{36}\)

\(x_1 = 6\),   

\(x_2 = -6\) - не удовлетворяет условию.

1) За \(6\) дней соберут хлопок два комбайна вместе.

2) \(6 + 9 = 15\) (дней) - соберет хлопок один первый комбайн.

3) \(6 + 4 = 10\) (дней) - соберет хлопок один второй комбайн.

Ответ: первый комбайн — за 15 дней, второй комбайн — за 10 дней.

Пояснения:

Ввели \(x\) — время совместной работы двух комбайнов. Первый работает дольше на 9 дней, второй — на 4 дня. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(x+9\) дней, второй комбайн уберет поле один за \(x+4\) дня.

Составили дробное рациональное уравнение через производительности:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = 36\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt {36} = 6\) и \(x_2 = -\sqrt {36} = -6\). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, два комбайна вместе уберут всё поле за 6 дней. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(6+9 = 15\) дней, а второй комбайн уберет поле один за \(6+4 = 10\) дней.

а) \((-3; +\infty)\) и \((4; +\infty)\)

\((-3; +\infty) \cap (4; +\infty)=(4; +\infty)\).

\((-3; +\infty) \cup (4; +\infty)=(-3; +\infty)\).

б) \((-\infty; 2)\) и \([0; +\infty)\)

\((-\infty; 2) \cap [0; +\infty)=[0; 2)\).

\((-\infty; 2) \cup [0; +\infty)=(-\infty; +\infty)\).

в) \((-\infty; 6)\) и \((-\infty; 9)\)

\((-\infty; 6) \cap (-\infty; 9)=(-\infty; 6)\).

\((-\infty; 6) \cup (-\infty; 9)=(-\infty; 9)\).

г) \([1; 5]\) и \([0; 8]\)

\([1; 5] \cap [0; 8]=[1; 5]\).

\([1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]\).

Пояснения:

Пересечение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку одновременно.

Объединение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них.