Упражнение 742 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( y^2-(2b-1)y+b^2-b-2=0 \)

\(A = 1\),  \(B = 2b-1\),  \(C = b^2 -b-2\)

\(y _1 + y_2 = 7\),

где \(y_1\) и \(y_2\) - корни уравнения.

По теореме Виета:

\( y_1+y_2=2b-1\)

\( 2b-1=7 \)

\( 2b=7+1 \)

\( 2b=8\)

\(b = \frac82\)

\( b=4 \)

Ответ: при \( b=4 \).

Пояснения:

Мы использовали свойство суммы корней квадратного уравнения:

\(y_1+y_2=-\frac{B}{A}\). Приравняв это значение к 7, получили единственное значение параметра \(b=4\), при котором сумма корней уравнения

\( y^2-(2b-1)y+b^2-b-2=0 \) равна 7.

Пусть расстояние от посёлка до станции равно \(x\) км.

1) \(\frac{0,5x}{5,5} + \frac{0,5x}{4,5}= \frac{5x}{55} + \frac{5x}{45}=\)

\(=\frac{x}{11} ^{\color{blue}{\backslash9}} + \frac{x}{9} ^{\color{blue}{\backslash11}} =\frac{9x+11x}{99}=\)

\(=\frac{20x}{99}\) (ч) - Миша был в пути.

2) \(\frac{x}{5}^{\color{blue}{\backslash99}} - \frac{20x}{99}^{\color{blue}{\backslash5}} =\frac{99x-100x}{495}=\)

\(=\frac{-x}{495} < 0\) при любом положительном \(x\),

поэтому \(\frac{x}{5} < \frac{20x}{99}\).

Ответ: первым на станцию пришел Коля.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Обозначили расстояние от посёлка до станции за \(x\) км, тогда, двигаясь со скоростью \(5\) км/ч, Миша пройдет это расстояние за \(\frac{x}{5}\) ч.

Миша первую половину пути, то есть \(0,5x\) км шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, то есть со скоростью \(5 + 0,5 = 5,5\) км/ч, а вторую половину пути, то есть \(0,5x\) км/ч — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля, то есть скоростью \(5 - 0,5 = 4,5\) км/ч. Значит, на весь путь от поселка до станции Миша затратит:

\(\frac{0,5x}{5,5} + \frac{0,5x}{4,5}= \frac{20x}{99}\) (ч).

Нам известно, что:

если \(a - b < 0\), то \(a < b\);

если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Из времени, которое был в пути Коля, вычтем время, которое был в пути Коля:

\(\frac{x}{5} - \frac{20x}{99} =\frac{-x}{495}\).

Учитывая то, что значение расстояния \(x\) всегда положительно, выражение \(\frac{-x}{495} < 0\) при любом положительном \(x\). Значит, время, которое был в пути Коля, меньше, чем время, которое был в пути Миша. Следовательно, первым на станцию пришел Коля.