Упражнение 673 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x+4xy=5\)

\(x+4xy-5=0\)

Ответ: степень уравнения равна \(2\).

б) \(x^{5}+8x^{3}y^{3}=1\)

\(x^{5}+8x^{3}y^{3}-1=0\)

Ответ: степень уравнения равна \(6\).

в) \(8x^{6}-y^{2}=2x^{4}(4x^{2}-y)\)

\(8x^{6}-y^{2}=8x^{6}-2x^{4}y\)

\(\cancel{8x^{6}}-y^{2}-\cancel{8x^{6}}+2x^{4}y=0\)

\(2x^{4}y-y^{2}=0\)

Ответ: степень уравнения равна \(5\).

г) \((x-2y)^{2}-x^{2}=4y(y-x)+5x\)

\(x^{2}-4xy+4y^{2}-x^{2}=4y^{2}-4xy+5x\)

\(\cancel{x^{2}}-\cancel{4xy}+\cancel{4y^{2}}-\cancel{x^{2}}-\cancel{4y^{2}}+\cancel{4xy}-5x=0\)

\(-5x=0\)

Ответ: степень уравнения равна \(1\).

Пояснения:

Для того, чтобы выяснить, какова степень уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого - многочлен стандартного вида, а правая - число 0. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.  Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. 

Использованные приемы:

- Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Свойства степени:

\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\);

\((ab)^n = a^nb^n\).

\(7x^2 + bx - 23 = 0\)  

По теореме Виета:

\(x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7} < 0\), значит, один из корней положительный, а другой отрицательный, при любом \(b\).

Пояснения:

В квадратном уравнении

\(ax^2 + bx + c = 0\) сумма и произведение корней выражаются формулами: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]

В нашем случае

\(a = 7\), \(b = b\), \(c = -23\).

Следовательно: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}= -\frac{23}{7} < 0.\]

Отрицательное произведение означает, что один корень положительный, а другой отрицательный.

Значит, уравнение \(7x^2 + bx - 23 = 0\) всегда имеет один положительный и один отрицательный корень при любых значениях параметра \(b\).