Упражнение 612 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \dfrac{1}{3}x^{2}+2x+4=\)

\(=\dfrac{1}{3}(x^{2}+6x+12)=\)

\(=\dfrac{1}{3}((x^{2}+2\cdot3\cdot x+ 3^2) - 3^2+12)=\)

\(=\dfrac{1}{3}((x+3)^2 - 9+12)=\)

\(=\dfrac{1}{3}((x+3)^2 +3)=\)

\(=\dfrac{1}{3}(x+3)^2 +1\)

Наименьшее значение будет при

\((x+3)^{2}=0\)

\(x+3 = 0\)

\(x=-3\).

Наименьшее значение трёхчлена:

\(\dfrac{1}{3}\cdot0 +1 = 0 + 1 = 1\)

Ответ: наименьшее значение трехчлена равно \(1\) при \(x=-3\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) Чтобы определить, при каком значении \(x\) трехчлен принимает наименьшее значение, выделяем из него квадрат двучлена.

2) Значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).

3) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

4) Квадрат любого числа неотрицателен:

\((a+b)^{2}\ge0\).

\(\displaystyle \frac1x=ax+b\),

где \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

 \(y=\frac{1}{x}\) - гипербола.

\(y=ax+b\) - прямая.

1) Если \(a>0\), \(b\) - любое число.

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 2 корня.

2) Если \(a =0\), \(b=0\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b=0\) не имеет корней.

3) Если \(a =0\), \(b\neq0\)

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=b\) имеет один корень.

4) Если \(a<0\), \(-2 < b < 2\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\), не имеет корней.

5) Если \(a<0\), \(b=\pm2\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 1 корень.

6) Если \(a<0\), \(b<-2\) или \(b>2\)

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 2 корня.

Пояснения:

Чтобы графически найти количество корней уравнения, нужно определить количество точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

\(y = \frac1x\) - обратная пропорциональность, графиком является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

\(y=ax+b\) - линейная функция, графиком является прямая.

Если \(a>0\), то прямая возрастает;

если \(a<0\), то прямая убывает;

если \(a = 0\), то прямая параллельна оси \(x\).

Коэффициент \(b\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\).