Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№589 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Разность квадратов корней уравнения \(x^{2}+2x+q=0\) равна \(12\). Найдите \(q\).
№589 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Разность корней квадратного уравнения \(x^{2}-12x+q=0\) равна \(2\). Найдите \(q\).
№589 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Вспомните:
№589 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Вспомните:
№589 учебника 2023-2025 (стр. 135):
\(x^{2}+2x+q=0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = q\)
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1+x_2 = -2\) и \(x_1\cdot x_2 = q\).
Составим систему:
\( \begin{cases} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -2(x_1 - x_2) = 12, / : (-2)\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -6, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \) \((+)\)
\( \begin{cases} 2x_1 = -8, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -\frac82, \\ x_2 = -2-x_1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -4, \\ x_2 = -2-(-4) \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -4, \\ x_2 = 2 \end{cases} \)
\(x_1\cdot x_2 = q\)
\(q = -4\cdot2 = -8\)
Ответ: \(q = -8\).
Пояснения:
Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля
\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:
\(x_1 + x_2=-b\),
\(x_1\cdot x_2=c\).
По условию разность квадратов корней квадратного уравнения 12, то есть
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12\).
Составляем систему из уравнений суммы корней и разности квадратов корней:
\( \begin{cases} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Сначала для первого уравнения системы применяем формулу разности квадратов двух выражений:
\( \begin{cases} (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Учитывая то, что \( x_1+x_2 = -2\) в первом уравнении заменяем первую скобку на \(-2\) и делим обе части полученного уравнения на \(-2\), тогда имеем:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -6, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Решаем полученную систему способом сложения и находим значения корней:
\(x_1 = -4, \\ x_2 = 2\).
Через произведение корней находим коэффициент \(q = -8\).
№589 учебника 2013-2022 (стр. 137):
\(x^{2}-12x+q=0\)
\(a = 1\), \(b = -12\), \(c = q\)
\(x_1 - x_2 = 2\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1+x_2 = 12\) и \(x_1\cdot x_2 = q\).
Составим систему:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 2,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \) \((+)\)
\( \begin{cases} 2x_1 = 14,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = \frac{14}{2},\\ x_2 = 12 - x_1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = 7,\\ x_2 = 12 - 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = 7,\\ x_2 = 5 \end{cases} \)
\(x_1\cdot x_2 = q\)
\(q=7\cdot5 = 35\)
Ответ: \(q=35\).
Пояснения:
Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля
\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:
\(x_1 + x_2=-b\),
\(x_1\cdot x_2=c\).
По условию разность корней квадратного уравнения 2, то есть
\(x_1 - x_2 = 2\).
Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 2,\\ x_1+x_2 = 12 \end{cases} \)
Решаем систему способом сложения и находим значения корней:
\(x_1 = 7, x_2 = 5\).
Через произведение корней находим коэффициент \(q = 35\).
Вернуться к содержанию учебника