Упражнение 575 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-b}{\,2\sqrt{ab}+2b+1}=\)

\(= \frac{(\sqrt a)^2 +2\cdot\sqrt a \cdot\sqrt b+(\sqrt b)^2-b}{\,2\sqrt{ab}+2b+1}=\)

\(= \frac{a +2\sqrt {ab}+\cancel b-\cancel b}{\,2\sqrt{ab}+2b+1}=\)

\(= \frac{a +2\sqrt {ab}}{\,2\sqrt{ab}+2b+1}\).

Если \(a=5,\;b=2\), то:

\( \frac{5 +2\sqrt {5\cdot2}}{\,2\sqrt{5\cdot2}+2\cdot2+1}=\)

\(= \frac{5 +2\sqrt {10}}{\,2\sqrt{10}+5}=1.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. Сначала выражение упрощаем, затем в упрощенное выражение подставляем числовые значения переменных и выполняем вычисления.

2. Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

3. Свойства корней:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\).

Пусть \(x-1,\;x,\;x+1\) - три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Составим уравнение:

\((x-1)^2+x^2+(x+1)^2=869\)

\(x^2-\cancel{2x}+1+x^2+x^2+\cancel{2x}+1=869\)

\(3x^2+2=869\)

\(3x^2=869-2\)

\(3x^2=867\)

\(x^2=289\)

\(x_1 = -\sqrt{289}\)   и   \(x_2 = \sqrt{289}\)

\(x_1=-17\)              \(x_2=17\)

Ответ: числа \(16,17,18\) или числа \(-18,-17,-16\).

Пояснения:

Последовательные числа удобно обозначить как \(x-1,\;x,\;x+1\).

Составляем уравнение, учитывая то, что сумма квадратов трех последовательных чисел равна 289:

\((x-1)^2+x^2+(x+1)^2=869\).

Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные, получаем:

\(3x^2+2=869\).

Решая уравнение, получаем \(x=\pm17\), что даёт две возможные последовательности чисел — положительную и отрицательную, обе последовательности удовлетворяют условию.