Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№492 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
а) \(\displaystyle \frac{1}{3\sqrt2 - 5} \;-\; \frac{1}{3\sqrt2 + 5};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{7 + 2\sqrt6} \;+\; \frac{1}{7 - 2\sqrt6}.\)
№492 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Расположите в порядке возрастания числа:
а) \(\frac{2}{3}\sqrt{72},\,\sqrt{30}\) и \(7\sqrt{2}\);
б) \(5\sqrt{\frac{7}{2}},\,\sqrt{17}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{62}\);
в) \(8\sqrt{0{,}2},\,\sqrt{41}\) и \(\frac{2}{5}\sqrt{250}\);
г) \(12\sqrt{0{,}5},\,\sqrt{89}\) и \(\frac{3}{4}\sqrt{160}\).
№492 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Вспомните:
№492 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№492 учебника 2023-2025 (стр. 112):
а) \( \frac{1}{3\sqrt2 - 5} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt2 + 5}}} - \frac{1}{3\sqrt2 + 5} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt2 - 5}}} \)
\(= \frac{(3\sqrt2+5) - (3\sqrt2-5)}{(3\sqrt2-5)(3\sqrt2+5)}= \)
\(= \frac{\cancel{3\sqrt2}+5 - \cancel{3\sqrt2}+5}{(3\sqrt2)^2-5^2} =\)
\(= \frac{10}{9\cdot2-25} =\frac{10}{18-25} =\)
\(=\frac{10}{-7}=\frac{-10}{7}\) - рациональное число.
б) \( \frac{1}{7 + 2\sqrt6} ^{\color{blue}{\backslash{7 - 2\sqrt6}}} + \frac{1}{7 - 2\sqrt6} ^{\color{blue}{\backslash{7 + 2\sqrt6}}}\)
\(=\frac{(7 - 2\sqrt6) + (7 + 2\sqrt6)}{(7 + 2\sqrt6)(7 - 2\sqrt6)}= \)
\(=\frac{7 - \cancel{2\sqrt6} + 7 + \cancel{2\sqrt6}}{7^2 - (2\sqrt6)^2}= \)
\(=\frac{14}{49 - 4\cdot6}=\frac{14}{49 - 24}=\)
\( =\frac{14}{25} \) - рациональное число.
Пояснения:
Число, которое можно записать в виде отношения \(\frac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, а \(n\) - натуральное число, называют рациональным числом.
Использованные правила и приёмы:
1. Для дробей вида \(\frac1{a} \pm \frac1{b}\) удобно брать общий знаменатель \((a b)\) и складывать/вычитать числители.
2. Разность квадратов:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
3. Раскрытие скобок:
\(a + (b + c) = a + b + c\);
\(a - (b + c) = a - b - c\).
4. Свойства корня и степени:
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).
№492 учебника 2013-2022 (стр. 113):
а) \(\frac{2}{3}\sqrt{72},\,\sqrt{30}\) и \(7\sqrt{2}\)
\(\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^2\cdot72} =\)
\(=\sqrt{\frac{4}{\cancel{9}_1}\cdot\cancel{72} ^8} = \sqrt{32},\)
\(7\sqrt{2} =\sqrt{7^2\cdot2}= \sqrt{49\cdot2} = \sqrt{98}.\)
\(\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}\)
В порядке возрастания:
\(\sqrt{30}; \frac{2}{3}\sqrt{72}; 7\sqrt{2}.\)
б) \(5\sqrt{\frac{7}{2}},\,\sqrt{17}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{62}\)
\(5\sqrt{\frac{7}{2}} =\sqrt{5^2\cdot\frac{7}{2}}= \sqrt{25\cdot3,5} =\)
\(= \sqrt{87,5},\)
\(\frac{1}{2}\sqrt{62} =\sqrt{(\frac{1}{2})^2\cdot62}= \sqrt{\frac{1}{4}\cdot62} =\)
\(=\sqrt{\frac{62}{4}} =\sqrt{\frac{31}{2}}=\sqrt{15{,}5}.\)
\(\sqrt{15{,}5}; \sqrt{17}; \sqrt{87,5}\)
В порядке возрастания:
\(\frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}}.\)
в) \(8\sqrt{0{,}2},\,\sqrt{41}\) и \(\frac{2}{5}\sqrt{250}\)
\(8\sqrt{0{,}2} =\sqrt{8^2\cdot0{,}2}= \sqrt{64\cdot0{,}2} = \)
\(=\sqrt{12{,}8},\)
\(\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2\cdot250}=\)
\(=\sqrt{\frac{4}{\cancel{25}_1}\cdot\cancel{250}^{10}} = \sqrt{40}.\)
\(\sqrt{12{,}8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}\)
В порядке возрастания:
\(8\sqrt{0{,}2}; \frac{2}{5}\sqrt{250}; \sqrt{41}.\)
г) \(12\sqrt{0{,}5},\,\sqrt{89}\) и \(\frac{3}{4}\sqrt{160}\)
\(12\sqrt{0{,}5} =\sqrt{12^2\cdot0{,}5}= \sqrt{144\cdot0{,}5} =\)
\(=\sqrt{72},\)
\(\frac{3}{4}\sqrt{160} =\sqrt{(\frac{3}{4})^2\cdot160} =\)
\(=\sqrt{\frac{9}{\cancel{16}}\cdot\cancel{160}^{10}} = \sqrt{90}.\)
\(\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}\)
В порядке возрастания:
\(12\sqrt{0{,}5} < \sqrt{89} < \tfrac{3}{4}\sqrt{160}.\)
Пояснения:
Используемые приемы:
- Сравнение корней:
\(\sqrt{a} > \sqrt{b}\), если \(a > b\).
- Внесение множителя под знак корня:
\( k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\,a}. \)
Вернуться к содержанию учебника