Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№487 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Упростите выражение:
а) \((1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x);\)
б) \((\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4);\)
в) \((\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn});\)
г) \((x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y}).\)
№487 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Преобразуйте выражение:
а) \(\sqrt{a^4\,b^4}\);
б) \(\sqrt{b^6c^8},\) где \(b\ge0\);
в) \(\sqrt{16\,x^4y^{12}}\);
г) \(\sqrt{0{,}25\,p^2y^6},\) где \(p\ge0,\;y\le0\);
д) \(\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}\);
е) \(\sqrt{\frac{16\,a^{12}}{b^{10}}},\) где \(b>0\);
ж) \(\sqrt{\frac{4\,x^2}{y^6}},\) где \(x<0,\;y<0\);
з) \(\sqrt{\frac{c^6}{a^2}},\) где \(c<0,\;a>0\).
№487 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Вспомните:
№487 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№487 учебника 2023-2025 (стр. 112):
а) \((1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x) =\)
\(=1^3 - (\sqrt{x})^3 =1 - x\sqrt{x}.\)
б) \((\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)=\)
\(=(\sqrt{a})^3 + 2^3 =a\sqrt{a} + 8 \).
в) \((\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})=\)
\(=(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}\).
г) \((x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})=\)
\(=x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}\).
Пояснения:
Использованные формулы:
– Сумма кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);
– Разность кубов:
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
Свойства корня и степени:
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\((\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x} = x\sqrt{x}\);
№487 учебника 2013-2022 (стр. 113):
а) \(\sqrt{a^4\,b^4}=\sqrt{(a^2)^2}\cdot\sqrt{(b^2)^2}=\)
\(=|a^2|\cdot|b^2|=a^2b^2.\)
б) \(\sqrt{b^6c^8}=\sqrt{(b^3)^2}\,\sqrt{(c^4)^2}=\)
\(=|b^3|\cdot|c^4|=b^3c^4\) при \(b\ge0\).
в) \(\sqrt{16\,x^4y^{12}}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{y^{12}}=\)
\(=4\cdot|x^2|\cdot|y^6|=4\,x^2\,y^6.\)
г) \(\sqrt{0{,}25\,p^2y^6}=\)
\(=\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{p^2}\cdot\sqrt{(y^3)^2}=\)
\(=0{,}5\cdot|p|\cdot|y^3|=0{,}5\,p\,(-y^3)=\)
\(=-0{,}5\,p\,y^3\) при \(p\ge0,\;y\le0\).
д) \(\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}=\frac{\sqrt{(p^2)^2}}{\sqrt{(a^4)^2}}=\frac{|p^2|}{|a^4|}=\frac{p^2}{a^4}.\)
е) \(\sqrt{\frac{16\,a^{12}}{b^{10}}} =\frac{\sqrt{16}\,\sqrt{(a^6)^2}}{\sqrt{(b^5)^2}} =\)
\(=\frac{4\cdot|a^6|}{|b^5|} =\frac{4\,a^6}{b^5}\) при \(b>0\).
ж) \(\sqrt{\frac{4\,x^2}{y^6}} =\frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=\)
\(=\frac{2\cdot|x|}{|y^3|} =\frac{2\cdot(-x)}{-y^3} =\frac{2x}{y^3}\)
при \(x<0,\;y<0\).
з) \(\sqrt{\frac{c^6}{a^2}} =\frac{\sqrt{(c^3)^2}}{\sqrt{a^2}} =\frac{|c^3|}{|a|} =\)
\(=\frac{-\,c^3}{a}=-\frac{\,c^3}{a}\) при \(c<0,\;a>0\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1.Свойства корня:
\(\sqrt{a^2}=|a|\);
\(\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\);
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);
\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
2. Определение модуля:
\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);
\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).
3. Свойство степени:
\(a^{2n} = (a^n)^2\);
\((-a)^n = a^n\) при четном \(n\);
\((-a)^n = -a^n\) при нечетном \(n\).
Вернуться к содержанию учебника