Упражнение 475 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{4^3}=\sqrt{(2^2)^3}=\sqrt{(2^3)^2}=\)

\(=|2^3|=2^3=8\)

б) \(\sqrt{9^5}=\sqrt{(3^2)^5}=\sqrt{(3^5)^2}=\)

\(=|3^5|=3^5 = 243\)

в) \(\sqrt{16^5}=\sqrt{(4^2)^5}=\sqrt{(4^5)^2}=\)

\(=|4^5|=1024\)

г) \(\sqrt{25^3}=\sqrt{(5^2)^3}=\sqrt{(5^3)^2}=\)

\(=|5^3|=125\)

д) \(\sqrt{8\cdot162}=\sqrt{8\cdot2\cdot81}=\)

\(=\sqrt{16\cdot81}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{81}=\)

\(= 4\cdot9=36\)

е) \(\sqrt{96\cdot486}=\sqrt{16\cdot6\cdot6\cdot81}=\)

\(=\sqrt{16\cdot6^2\cdot81}=\)

\(\sqrt{16}\cdot\sqrt{6^2}\cdot\sqrt{81}=4\cdot|6|\cdot9=\)

\(=4\cdot6\cdot9=216\)

ж) \(\sqrt{750\cdot270}=\sqrt{25\cdot30\cdot30\cdot9}=\)

\(=\sqrt{25\cdot30^2\cdot9}=\)

\(=\sqrt{25}\cdot\sqrt{30^2}\cdot\sqrt{9}=5\cdot|30|\cdot3=\)

\(=5\cdot30\cdot3=450\)

з) \(\sqrt{194\cdot776}=\sqrt{2\cdot97\cdot97\cdot8}=\)

\(=\sqrt{16\cdot97^2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{97^2}=\)

\(=4\cdot97=388\)

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|\);

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

а) \(\sqrt{x} = x + b\)

\(y = \sqrt{x}\) - ветвь параболы в I  четверти.

\(y=x + b\) - прямая

Если \(b > 0\), то уравнение не имеет корней.

Если \(b = 0\), то уравнение имеет два корня.

Если \(b < 0\), то уравнение имеет один корень.

б) \(\sqrt{x} = -x + b\)

\(y = \sqrt{x}\) - ветвь параболы в I  четверти.

Если \(b > 0\), то уравнение имеет один корень.

Если \(b = 0\), то уравнение имеет один корень.

Если \(b < 0\), то уравнение не имеет корней.

Пояснения:

Функция \(y=\sqrt{x}\) определена при \(x\ge0\). Графиком является ветвь параболы, расположенная в I координатной четверти. Строим по точкам.

Графиком функции \(y = kx+b\) является прямая. Если \(k > 0\), то прямая возрастает. Если \(k < 0\), то прямая убывает. Коэффициент \(b\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\).

Чтобы определить количество корней уравнения, достаточно определить количество точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

При одинаковом значении \(k\) и различных \(b\) прямые будут параллельны, поэтому рассматриваем три случая:

1) \(b > 0\);

2) \(b = 0\);

3) \(b < 0\).