Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№251 учебника 2023-2025 (стр. 61):
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения
\( \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} \;+\; \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} \)
не зависит от \(a\) и \(b\).
№251 учебника 2013-2022 (стр. 58):
Автомобиль проехал от пункта A до пункта B. До пункта C, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из C в B — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.
№251 учебника 2023-2025 (стр. 61):
Вспомните:
№251 учебника 2013-2022 (стр. 58):
№251 учебника 2023-2025 (стр. 61):
\(\frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} \;+\; \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b}=\)
\(=\frac{36\biggl(\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2\biggr)}{36\biggl(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2\biggr)} \;+\; \frac{4\cdot6b}{4\biggl(\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b\biggr)}=\)
\(=\frac{54a^2 - 72ab + 24b^2}{9a^2 - 4b^2} \;+\; \frac{24b}{3a + 2b}=\)
\(=\frac{6(9a^2 - 12ab + 4b^2)}{(3a-2b)(3a+2b)}\;+\; \frac{24b}{3a + 2b} =\)
\(=\frac{6(3a-2b)\cancel{^2}}{\cancel{(3a-2b)}(3a+2b)}\;+\; \frac{24b}{3a + 2b} =\)
\(=\frac{6(3a-2b)}{(3a+2b)}\;+\; \frac{24b}{3a + 2b} =\)
\(=\frac{18a-12b+24b}{(3a+2b)} =\frac{18a+12b}{(3a+2b)}=\)
\( =\frac{6\cancel{(3a+2b)}}{\cancel{3a+2b}}=6\), следовательно, при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от \(a\) и \(b\).
Пояснения:
— Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножаем числитель и знаменатель дроби на общий знаменатель дробных коэффициентов.
—В числителе дроби выносим общий множитель \(6\) и "сворачиваем" квадратный трехчлен в квадрат разности двух выражений.
— Сокращаем первую дробь \((3a-2b)\).
— Получили сумму дробей с одинаковыми знаменателями, выполняем сложение.
— Упрощаем числитель дроби и выносим общий множитель \(6\) за скобки.
— Сокращаем дробь на \(3a+2b\).
Все преобразования приводят к постоянному значению 6, не зависящему от \(a\) и \(b\).
№251 учебника 2013-2022 (стр. 58):
|
Расстояние, км |
Скорость, км/ч |
Время, ч |
|
| Из А в В | \(S\) | 60 | \(\frac{S}{60}\) |
| Из В в С | \(S\) | 80 | \(\frac{S}{80}\) |
| Весь путь | \(2S\) | ? | \(\tfrac{S}{60}+\tfrac{S}{60}\) |
\(v_{ср.}= \frac{2S}{\frac{S}{60} ^{\color{red}{\backslash4}} +\frac{S}{80} ^{\color{red}{\backslash3}} }=\frac{2S}{\frac{4S+3S}{240}}=\)
\(=\frac{2S}{\frac{7S}{240}}=2S : \frac{7S}{240}=2S\cdot\frac{240}{7S}=\)
\(=\frac{2\cancel{S}\cdot240}{7\cancel{S}}=\frac{480}{7}=68\frac{4}{7}\) (км/ч).
Ответ: средняя скорость автобуса на всем пути следования равна \(68\frac{4}{7}\) км/ч.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
• Формула средней скорости при равном расстоянии: общее расстояние, делённое на общее время.
• Время пути рассчитывается как отношение расстояния к скорости: \(\;t = \frac{S}{v}.\)
Пояснения к шагам:
— Сначала ввели переменную \(S\) для расстояния, чтобы не зависеть от конкретного значения.
— Посчитали время движения в каждую сторону по формуле \(t = \frac{S}{v}\).
— Сложили полученные времена и сложили расстояния.
— Разделили общее расстояние на общее время, получили среднюю скорость.
Вернуться к содержанию учебника