Упражнение 246 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \biggl(\frac{x+1}{2x} ^{\color{red}{\backslash{x+3}}} + \frac{4}{x+3} ^{\color{red}{\backslash{2x}}} - \frac21 ^{\color{red}{\backslash{2x(x+3)}}} \biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \biggl( \frac{(x+1)(x+3) + 8x - 4x(x+3)}{2x(x+3)}\biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \biggl( \frac{{\color{red}x^2}+{\color{green}x}+{\color{green}3x}+3+ {\color{green}8x} {\color{red}- 4x^2}{\color{green}-12x}}{2x(x+3)}\biggr) :\)

\(:\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3- 3x^2}{2x(x+3)} :\frac{x+1}{x+3} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1- x^2)}{2x(x+3)} \cdot\frac{x+3}{x+1} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3\cancel{(1+x)}(1-x)\cdot\cancel{(x+3)}}{2x\cancel{(x+3)}\cdot\cancel{(x+1)}} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1-x)}{2x} -\frac{x^2 - 5x + 3}{2x}= \)

\(= \frac{3(1-x)-(x^2 - 5x + 3)}{2x} = \)

\(= \frac{\cancel{3}{\color{red}-3x}-x^2 + {\color{red}5x} - \cancel{3}}{2x} = \)

\(= \frac{2x-x^2}{2x} =\frac{\cancel{x}(2-x)}{2\cancel{x}} =\frac{2-x}{2} \), при \(x>2\) выражение \(2-x<0, ⇒\) выражение, данное в задании,  при \(x>2\) является отрицательным числом

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

1. Привели \(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2\) к общему знаменателю \(2x(x+3)\), получили дробь \(\frac{3- 3x^2}{2x(x+3)}\).

2. Разделили на \(\frac{x+1}{x+3}\), умножив на её обратную, и сократили \((x+1)\) и \((x+3)\), получили \(\frac{3(1-x)}{2x}\).

3. Затем вычли \(\frac{x^2-5x+3}{2x}\), объединив дроби с общим знаменателем \(2x.\) В итоге получили \(\frac{2-x}{2}.\)

Поскольку при \(x>2\) число \(2-x\) отрицательно, выражение \(\frac{2-x}{2}\) отрицательно, что и требовалось доказать.

\( a^3 + b^3 + \Bigl(\frac{b\,(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3 \;=\; \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3 \)

Рассмотрим левую часть:

\( a^3 + b^3 + \Bigl(\frac{b\,(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3=\)

\(=\frac{a^3 + b^3}{1} ^{\color{red}{\backslash{(a^3 - b^3)^3}}} + \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}=\)

\(= \frac{(a^3+b^3)\,(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} + \frac{b^3\,(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} =\)

\(= \frac{(a^3+b^3)\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\frac{b^3\,( 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)}{(a^3 - b^3)^3} =\)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\biggl(\frac{b^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+\frac{b^3\,( 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)}{(a^3 - b^3)^3}\biggr) =\)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \tfrac{b^3\,(a^9 - {\color{red}3a^6b^3} + {\color{blue}3a^3b^6} - \cancel b^9+8a^9 + {\color{red}12a^6b^3} + {\color{blue}6a^3b^6} + \cancel b^9)}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \frac{a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9)}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \frac{b^3\,(9a^9 +9a^6b^3 + 9a^3b^6)}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \frac{a^{12} - 3a^9b^3 + 3a^6b^6 - a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3} + \)

\(+ \frac{9a^9b^3 +9a^6b^6 + 9a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3}= \)

\(= \tfrac{a^{12} - {\color{red}3a^9b^3} + {\color{blue}3a^6b^6} - {\color{green}a^3b^9}+{\color{red}9a^9b^3} +{\color{blue}9a^6b^6} + {\color{green}9a^3b^9}}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{a^{12} +6a^9b^3 + 12a^6b^6 +8a^3b^9}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{a^3\,(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9)}{(a^3 - b^3)^3} = \)

\(= \frac{ a^3\,(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}= \Biggl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Biggr)^3.\)

\( \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3= \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3\) - верно.

Пояснения:

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левые части. Для этого используем следующие приемы:

1) Распределительное свойство умножения:

\(\displaystyle c\,a\pm c\,b=c(a \pm b).\)

2) Сочетательное свойство сложения:

\(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)\)

2) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

\(a^na^m= a^{n+m}\).

3) Куб суммы и куб разности двух выражений:

\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\).

4) Сложение дробей:

\(\frac{A}{D} +  \frac{B}{D} = \frac{A+ B}{D}\).

5) Возведение дроби в степень:

\(\biggl(\frac{A}{B}\biggr)^n = \frac{A^n}{B^n}\).