Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№67 учебника 2023-2025 (стр. 22):
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\displaystyle \frac{x^2}{x^2 - 16} \;-\; \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16}\);
б) \(\displaystyle \frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} \;+\; \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2}\).
№67 учебника 2013-2022 (стр. 21):
Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
а) \(\displaystyle \frac{x^2 + y^2}{x^4}\);
б) \(\displaystyle \frac{2x - y}{b}\);
в) \(\displaystyle \frac{a^2 + 1}{2a}\);
г) \(\displaystyle \frac{a^2 - 3ab}{a^3}\).
№67 учебника 2023-2025 (стр. 22):
Вспомните:
№67 учебника 2013-2022 (стр. 21):
Вспомните:
№67 учебника 2023-2025 (стр. 22):
а) \(\frac{x^2}{x^2 - 16} \;-\; \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16}=\)
\( =\frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16} =\)
\(=\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16} =\)
\(=\frac{(x - 4)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 4)}(x + 4)} = \frac{x - 4}{x + 4}\)
б) \(\displaystyle \frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} \;+\; \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2}=\)
\(= \frac{(64 - 2ab) + (2ab - a^2)}{(a - 8)^2} =\)
\(= \frac{64 - \cancel{2ab} + \cancel{2ab} - a^2}{(a - 8)^2} =\)
\(=\frac{64 - a^2}{(a - 8)^2} = \frac{-(a^2 - 64)}{(a - 8)^2} =\)
\(=-\frac{\cancel{(a - 8)}(a + 8)}{(a - 8)^{\cancel{2}}} = -\frac{a + 8}{a - 8}\)
Пояснения:
1) При четных степенях значения противоположных выражений равны, поэтому в пункте б) имеем:
\((8 - a)^2 = (a - 8)^2\).
2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)
где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.
3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\);
- свойство степени:
\(a^ma^n = a^{m+n}\).
5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
№67 учебника 2013-2022 (стр. 21):
а) \( \frac{x^2 + y^2}{x^4} = \frac{^1\cancel{x^2}}{x^{\cancel{4}^ 2}} + \frac{y^2}{x^4} =\)
\(=\frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4}. \)
б) \( \frac{2x - y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b}. \)
в) \( \frac{a^2 + 1}{2a} = \frac{a^{\cancel{2}}}{2\cancel{a}} + \frac{1}{2a} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2a}. \)
г) \( \frac{a^2 - 3ab}{a^3} = \frac{^1\cancel{a^2}}{a^{\cancel{3}}} - \frac{3\cancel{a}b}{a^{\cancel{3}^ 2}} =\)
\(=\frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2}. \)
Пояснения:
1. Применяем правила:
\(\displaystyle \frac{P+Q}{D} = \frac{P}{D} + \frac{Q}{D},\)
\(\displaystyle \frac{P-Q}{D} = \frac{P}{D} - \frac{Q}{D}.\)
2. После разбиения дробей удобно дополнительно упростить каждую, сокращая одинаковые степени переменных.
3. Полученные дроби являются самыми простыми представлениями исходного выражения как суммы (разности) дробей.
Вернуться к содержанию учебника