Упражнение 36 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№36 учебника 2023-2025 (стр. 15):
Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) \(\displaystyle (9x^2 - y^2):(3x + y)\);
б) \(\displaystyle (2ab - a):(4b^2 - 4b + 1)\);
в) \(\displaystyle (x^2 + 2x + 4):(x^3 - 8)\);
г) \(\displaystyle (1 + a^3):(1 + a)\).
№36 учебника 2013-2022 (стр. 14):
(Для работы в парах.) Постройте график функций:
а) \(y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}\);
б) \(y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}\).
1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.
Подсказка
№36 учебника 2023-2025 (стр. 15):
Вспомните:
- Рациональные дроби.
- Основное свойство рациональной дроби (сокращение дробей).
- Разложение многочленов на множители.
- Разность квадратов двух выражений.
- Квадрат разности двух выражений.
- Сумма и разность кубов двух выражений.
- Степень с натуральным показателем.
- Свойства степени с натуральным показателем.
№36 учебника 2013-2022 (стр. 14):
Вспомните:
- График линейной функции.
- Рациональные дроби.
- Основное свойство рациональной дроби (сокращение дробей).
- Область определения функции.
- Разложение многочленов на множители.
- Разность квадратов двух выражений.
- Линейное уравнение с одной переменной, их свойства.
- Вычитание рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
Ответ
№36 учебника 2023-2025 (стр. 15):
а) \(\displaystyle (9x^2 - y^2):(3x + y)=\)
\(=\frac{9x^2 - y^2}{3x + y} = \frac{(3x - y)\cancel{(3x + y)}}{\cancel{3x + y}} =\)
\(=3x - y. \)
б) \(\displaystyle (2ab - a):(4b^2 - 4b + 1)=\)
\(=\frac{2ab - a}{4b^2 - 4b + 1} = \frac{a\cancel{(2b - 1)}}{(2b - 1)^{\cancel{2}}} = \)
\(=\frac{a}{2b - 1}. \)
в) \(\displaystyle (x^2 + 2x + 4):(x^3 - 8)=\)
\(=\frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} = \)
\(=\frac{\cancel{x^2 + 2x + 4}}{(x - 2)\cancel{(x^2 + 2x + 4)}} = \frac{1}{x - 2}. \)
г) \(\displaystyle (1 + a^3):(1 + a)=\)
\(=\frac{1 + a^3}{1 + a} = \frac{\cancel{(1 + a)}(1 - a + a^2)}{\cancel{1 + a}} =\)
\(=1 - a + a^2. \)
Пояснения:
1. Сначала записали частное как дробь и разложили числитель и знаменатель на множители:
— а) разность квадратов:
\(9x^2 - y^2=(3x - y)(3x + y)\);
— б) квадрат разности:
\(4b^2-4b+1=(2b-1)^2\);
— в) разность кубов:
\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\);
— г) сумма кубов:
\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\).
2. Затем сократили общий множитель в числителе и знаменателе.
№36 учебника 2013-2022 (стр. 14):
а) \(y = \dfrac{x^2 - 25}{2x + 10}=\)
\(=\dfrac{(x - 5)\cancel{(x+5)}}{2\cancel{(x + 5)}}=\dfrac{x - 5}{2}\)
\(2x+10\neq0\)
\(2x\neq -10\)
\(x\neq-\frac{10}{2}\)
\(x\neq-5\)
\(y = \dfrac{x - 5}{2}\)
| \(x\) | 1 | 3 |
| \(y\) | -2 | -1 |
б) \(y = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}= \dfrac{x\cancel{(x^2 - 9)}}{\cancel{x^2 - 9}}= x\)
\(x^2 - 9\neq0\)
\((x - 3)(x+3)\neq0\)
\(x\neq3\) и \(x\neq-3\)
\(y=x\)
| \(x\) | 1 | 4 |
| \(y\) | 1 | 4 |
Пояснения:
Сначала сокращаем дробные выражения, представляющие данные функции. Для этого раскладываем на множители числитель и знаменатель и сокращаем на общий множитель. При разложении на множители используем следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ac + bc = (a + b)c\);
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Также при построении графика помним то, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, на графике исключаем:
— для функции (a): учитываем разрыв в точке с \(x=-5\) (делаем эту точку "выколотой");
— для функции (б): учитываем разрыв с \(x=3\) и \(x=-3\) (делаем эти точки "выколотыми").
Вернуться к содержанию учебника