Упражнение 35 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}=\frac{(x - 2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x - 2)}} =\)

\(=\frac{x - 2}{x}. \)

б) \(\displaystyle \frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}=\frac{3y\cancel{(y + 8)}}{(y + 8)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{3y}{y + 8}. \)

в) \(\displaystyle \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}=\)

\(= \frac{\cancel{a^2 + a + 1}}{(a - 1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{a - 1}. \)

г) \(\displaystyle \frac{b + 2}{b^3 + 8}=\)

\( \frac{\cancel{b + 2}}{\cancel{(b + 2)}(b^2 - 2b + 4)} =\)

\(=\frac{1}{b^2 - 2b + 4}. \)

Пояснения:

1. Для сокращения дробей раскладываем числитель и знаменатель на множители:

— квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\),

— квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

— разность кубов двух выражений:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),

— сумма кубов двух выражений:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).

2. После разложения находим общий множитель и сокращаем его.

а) \( \frac{2x + bx - 2y - by}{7x - 7y} =\)

\(=\frac{(2 + b)x - (2 + b)y}{7(x - y)} = \)

\(=\frac{(2 + b)\cancel{(x - y)}}{7\cancel{(x - y)}} = \frac{2 + b}{7}. \)

б) \( \frac{8a + 4b}{2ab + b^2 - 2ad - bd} =\)

\( =\frac{4(2a + b)}{b(2a + b) - d(2a + b)} = \)

\(=\frac{4\cancel{(2a + b)}}{\cancel{(2a + b)}(b - d)} = \frac{4}{b - d}. \)

в) \( \frac{xy - x + y - y^2}{x^2 - y^2} =\)

\( \frac{x(y - 1) - y(y-1)}{x^2 - y^2} =\)

\(=\frac{(y - 1)\cancel{(x - y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{y - 1}{x + y}. \)

г) \( \frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac - ax - cx} =\)

\( \frac{(a + c)^2}{a(a + a) - (a + c)x} =\)

\(=\frac{(a + c)^{\cancel{2}}}{\cancel{(a + c)}(a - x)} = \frac{a + c}{a - x}. \)

Пояснения:

1. При сокращении дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители и найти общий множитель и сократить его. При разложении на множители используем способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

2. В пункте а) общий множитель

\((x - y)\), в пункте б) — \((2a + b)\),

в пункте в) — \((x - y)\),

в пункте г) — \((a + c)\).