Упражнение 520 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x+3)(x-4) = -12 \)

\(x^2 - 4x + 3x - \cancel{12} + \cancel{12} = 0\)

\(x^2 - x = 0\)

\(x(x-1)=0 \)

\(x=0 \) или \( x - 1 = 0\)

                   \(x = 1\)

Ответ: \(0\);  \(1\).

б) \(1\dfrac{2}{3}\,t + (2t+1)\Bigl(\frac{1}{3}t - 1\Bigr) = 0\)

\( \frac{5}{3}t + \frac{2}{3}t^2 -2t +\frac{1}{3}t -1=0\)

\( \frac{2}{3}t^2 -1 = 0 \)

\( \frac{2}{3}t^2 = 1 \)

\( t^2 = 1 : \frac{2}{3} \)

\( t^2 = \frac{3}{2} \)

\( t^2 = 1,5 \)

\(t = -\sqrt{1,5} \)   и   \(t = \sqrt{1,5} \)

Ответ: \(-\sqrt{1,5} \);  \(\sqrt{1,5} \).

в) \(3x(2x+3) = 2x(x+4{,}5) + 2 \)

\(6x^2 +9x = 2x^2 +9x +2 \)

\(6x^2 + \cancel{9x} - 2x^2 - \cancel{9x} - 2 = 0 \)

\(4x^2 -2 = 0\)

\(4x^2 = 2\)

\(x^2 = \frac24 \)

\(x^2 = 0,5 \)

\(x = -\sqrt{0,5} \)   и   \(x = \sqrt{0,5} \)

Ответ: \(-\sqrt{0,5} \);  \(\sqrt{0,5} \).

г) \( (x-1)(x+1) = 2(x^2-3) \)

\(x^2 -1 = 2x^2 -6 \)

\(x^2 -1 - 2x^2 + 6 = 0 \)

\(-x^2 +5 = 0 \)

\(-x^2 = -5 \)

\(x^2 = 5 \)

\(x = -\sqrt5 \)   и   \(x = \sqrt5 \) 

Ответ: \(-\sqrt5 \);  \(\sqrt5 \).

Пояснения:

Использованные приемы:

1. В каждом уравнении сначала раскрыли скобки по следующим правилам:

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\);

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c)= ab + ac\);

- разность квадратов:

\((a-b)(a + b) = a^2 - b^2\).

2. В каждом уравнении переносим все компоненты из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные.

3. Приводим подобные слагаемые и получаем неполное квадратное уравнение.

4. Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:

\(x(ax + b) = 0\).

Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим

\(x = -\frac{b}{a}\).

То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:

\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).

5. Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).

Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\)  и  \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.

\((a - 2)x^2 + 15x + a^2 - 4 = 0\)

При \(a - 2 \ne 0 \Rightarrow a \ne 2\) уравнение будет квадратным.

Квадратное уравнение будет неполным при:

\(a^2 - 4 = 0\)

\((a - 2)(a+2)=0\)

\(a-2 =0\)      или      \(a + 2 =0\)

\(a = 2\) - не подходит,   \(a = -2\)

Ответ: 3.

Пояснения:

Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

Оно называется неполным, если отсутствует один из членов — либо \(bx\), либо \(c\), то есть если хотя бы один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю, но коэффициент при \(x^2\) не равен нулю (иначе уравнение становится линейным).

Проверяем коэффициенты:

• Коэффициент при \(x^2\): \(a - 2\);
• Коэффициент при \(x\): \(15\);
• Свободный член: \(a^2 - 4\).

Чтобы уравнение было неполным квадратным уравнением, в данном случае должны выполняться два условия:

1) \(a - 2 \ne 0 \Rightarrow a \ne 2\);

2) \(a^2 - 4 = 0\), откуда \( a = 2\) или \(a = -2\).

Значение \(a = 2\) не подходит, так как в таком случае уравнение не будет квадратным. Следовательно, рассматриваемое уравнение является неполным квадратным уравнением при \(a = -2\).