Упражнение 144 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{a^3-x^3}{x^2-1} =\)

\(=\displaystyle \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{(a-x)(a^2+ax+x^2)}{(x-1)(x+1)} =\)

\(=\frac{a^2+ax+x^2}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} =\)

\(=\frac{\cancel{(a^2+ax+x^2)}\cdot\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}\cdot(a-x)\cancel{(a^2+ax+x^2)}}=\)

\(=\frac{x+1}{a-x}.\)

б) \(\displaystyle \frac{ap^2-9a}{p^3-8} : \frac{p+3}{2p-4} =\)

\(=\displaystyle \frac{a(p^2-9)}{(p-2)(p^2+2p+4)} : \frac{p+3}{2(p-2)} =\)

\(=\frac{a(p-3)(p+3)}{(p-2)(p^2+2p+4)} \cdot \frac{2(p-2)}{p+3} =\)

\(=\frac{a(p-3)\cancel{(p+3)}\cdot2\cancel{(p-2)}}{\cancel{(p-2)}(p^2+2p+4)\cdot\cancel{(p+3)}} =\)

\(=\frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}.\)

Пояснения:

Правила, использованные в решении:

– Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

– Разложение на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\).

В каждом пункте сначала разложили числитель и знаменатель на множители по указанным выше формулам, перешли от деления к умножению и сократили общие множители числителя и знаменателя.

а) \( \frac{2b}{2b+3}-\frac{5}{3-2b}-\frac{4b^2+9}{4b^2-9} =\)

\( =\frac{2b}{2b+3} ^{\color{blue}{\backslash{2b-3}}} +\frac{5}{2b-3} ^{\color{blue}{\backslash{2b+3}}} -\frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)} =\)

\(=\frac{2b(2b-3)+5(2b+3)-(4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)} =\)

\(=\frac{\cancel{4b^2} -6b +10b +15 - \cancel{4b^2}-9}{(2b+3)(2b-3)} \)

\( = \frac{4b +6}{(2b+3)(2b-3)} =\)

\( = \frac{2\cancel{(2b+3)}}{\cancel{(2b+3)}(2b-3)} = \frac{2}{2b-3}. \)

б) \( \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}+\frac{2b}{a^2+2ab}-\frac{b}{ac-3a^2}=\)

\(= \frac{c+6b}{c(a+2b)-3a(a+2b)}+\frac{2b}{a(a+2b)}-\frac{b}{a(c-3a)}=\)

\(= \frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} +\frac{2b}{a(a+2b)} ^{\color{blue}{\backslash{c-3a}}} -\frac{b}{a(c-3a)} ^{\color{blue}{\backslash{a+2b}}} =\)

\(=\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)} =\)

\( = \frac{ac +\cancel{6ab} +2bc -\cancel{6ab} -ab -2b^2}{a(a+2b)(c-3a)} =\)

\( = \frac{ac +2bc - ab -2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}= \)

\( = \frac{c(a +2b) - b(a + 2b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \)

\( = \frac{\cancel{(a+2b)}(c-b)}{a\cancel{(a+2b)}(c-3a)} =\)

\( = \frac{c-b}{a(c-3a)}. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем способ группировки и следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

- свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\);

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

4) После выполнения сложения и вычитания числителей, числитель полученной дроби раскладываем на множители и сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.