Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№89 учебника 2023-2025 (стр. 27):
Докажите, что при всех допустимых значениях \(y\) значение выражения не зависит от \(y\):
а) \(\displaystyle \frac{5y + 3}{2y + 2} \;-\; \frac{7y + 4}{3y + 3};\)
б) \(\displaystyle \frac{11y + 13}{3y - 3} \;+\; \frac{15y + 17}{4 - 4y}.\)
№89 учебника 2013-2022 (стр. 25):
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle \frac{1}{a^2 + a b} + \frac{1}{a b + b^2};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{b^2 - a b} - \frac{1}{a b - a^2}.\)
№89 учебника 2023-2025 (стр. 27):
Вспомните:
№89 учебника 2013-2022 (стр. 25):
Вспомните:
№89 учебника 2023-2025 (стр. 27):
а) \(\frac{5y + 3}{2y + 2} \;-\; \frac{7y + 4}{3y + 3}=\)
\(= \frac{5y+3}{2(y+1)} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{7y+4}{3(y+1)} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)
\(=\frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)} =\)
\(=\frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)} =\)
\(=\frac{^1 \cancel{y + 1}}{6\cancel{(y+1)}} = \frac{1}{6}\) - не зависит от \(y\).
б) \( \frac{11y + 13}{3y - 3} \;+\; \frac{15y + 17}{4 - 4y}=\)
\( =\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{-4(y-1)} =\)
\(=\frac{11y+13}{3(y-1)} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{15y+17}{4(y-1)} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\)
\(=\frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)} =\)
\(=\frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)} =\)
\(=\frac{-\,y + 1}{12(y-1)} =\frac{-\,(y - 1)}{12(y-1)} =\)
\(=-\frac{^1 \cancel{y-1}}{12\cancel{(y-1)}} = -\frac{1}{12}\) - не зависит от \(y\).
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
3) Вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\);
\(kx-ky=-k(y-x)\).
4) Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
№89 учебника 2013-2022 (стр. 25):
а) \(\displaystyle \frac{1}{a^2 + a b} + \frac{1}{a b + b^2}=\)
\(\displaystyle \frac{1}{a(a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{1}{b(a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)
\(=\displaystyle \frac{b + a}{ab(a+b)} = \frac{^1 \cancel{a + b}}{ab\cancel{(a+b)}} = \)
\(=\frac{1}{ab}. \)
б) \( \frac{1}{b^2 - a b} - \frac{1}{a b - a^2}=\)
\( \frac{1}{b(b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a (b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)
\(= \frac{a - b}{ab(b-a)} = \frac{^1 \cancel{a - b}}{-ab\cancel{(a-b)}} =\)
\(=-\frac{1}{ab}. \)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей.
3) Вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
4) Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
6) Сокращаем числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.
Вернуться к содержанию учебника