Упражнение 1211 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1. \( p = 30q + r, \quad 0 \le r < 30, \)

где \(p\) - простое число, \(q\) — целое, \(r\) — искомый остаток.

2. Если \(p=2,3,5\), то при делении на 30 остаток равен самому \(p\), то есть простому.

3. Пусть теперь \(p>5\). Так как \(p\) — простое и отличается от 2, 3 и 5, оно не делится на 2, 3 и 5. Поэтому при делении \(r\) на 2, на 3 и на 5 всегда остаётся ненулевой остаток.

4. Остаток \(r\) — целое число от 1 до 29, не дающее целого частного при делении ни на 2, ни на 3, ни на 5:

\(\{1,7,11,13,17,19,23,29\}.\)

Следовательно, остаток \(r\) равен либо 1, либо одному из простых чисел 7, 11, 13, 17, 19, 23 или 29.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Деление с остатком: \(p=30q+r\), где \(0\le r<30\).

– Для простого \(p>5\) исключена кратность 2, 3 и 5, значит, остаток не делится на эти числа.

– Проверка всех целых от 1 до 29 с этим свойством показывает, что возможны лишь единица и простые числа.

– Отдельно рассматриваются случаи \(p=2,3,5\): остаток равен \(p\).

Пусть пять последовательных натуральных чисел:

\((n-2),\;(n-1),\;n,\)

\((n+1),\;(n+2)\).

\( (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2= \)

\(= (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)= \)

\(= n^2 - \cancel{4n} + 4 + n^2 - \cancel{2n} + 1 + n^2 + n^2 + \cancel{2n} + 1 + n^2 + \cancel{4n} + 4)= \)

\(= 5n^2 + 10 = 5\,(n^2 + 2). \)

Предположим, что

\( 5\,(n^2+2) = k^2. \)

Тогда \(k^2\) делится на 5, а значит и \(k\) делится на 5. Пусть \(k=5t\). Тогда

\( 25t^2 = 5\,(n^2+2) \)    / \(: 5\)

\(5t^2 = n^2 + 2. \)

1) Если \(n\) делится на 5, то \(n^2\) делится на 25, значит \(n^2+2\) при делении на 5 даёт в остатке 2;

2) Если \(n\) при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4, то \(n^2\) при делении на 5 даёт в остатке 1, и тогда \(n^2+2\) при делении на 5 даёт остаток 3, так как \(1 + 2 = 3\);

3) Если \(n\) при делении на 5 даёт в остатке 2 или 3, то \(n^2\) даёт в остатке 4, и тогда \(n^2+2\) даёт остаток 1, так как \(4 + 2 = 6\), а \(6 : 5 = 1 (ост.1)\).

\(n^2+2\) не делится на 5, поэтому равенство \(5t^2=n^2+2\) невозможно. Значит исходное предположение ложно, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Выразили сумму пяти квадратов в виде \(5(n^2+2)\).
– Если это число было бы квадратом, то делилось бы на 25, что приводит к требованию, чтобы \(n^2+2\) делилось на 5.
– Проверка всех возможных остатков \(n\) при делении на 5 показывает то, что \(n^2+2\) при делении на 5 даёт остаток 1 или 2 или 3, но никогда 0. Противоречие завершает доказательство.