Упражнение 1030 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0\)

\( (x^3 - 2x^2) - (x - 2) =0\)

\(x^2(x - 2) - 1\cdot(x - 2) = 0\)

\((x^2 - 1)(x - 2) =0\)

\((x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0\)

\(x-1 = 0\)

\(x = 1\)

или \(x + 1=0\)

\(x = -1\)

или \(x - 2 = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 1,\;-1,\;2.\)

б) \(y^3 - y^2 = 16y - 16\)

\( y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0\)

\( (y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0\)

\(y^2(y - 1) - 16(y - 1) =0\)

\((y^2 - 16)(y - 1) = 0\)

\((y - 4)(y + 4)(y - 1) = 0 \)

\(y-4=0\)

\(y=4\)

или \(y + 4 = 0\)

\(y = -4\)

или \(y - 1 = 0\)

\(y = 1\)

Ответ: \(y = 4,\;-4,\;1.\)

в) \(2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0\)

\( (2y^3 - 32y) - (y^2 - 16) =0\)

\(2y(y^2 - 16) - 1\cdot(y^2 - 16) =0\)

\((2y - 1)(y^2 - 16) =0\)

\((2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0 \)

\(2y-1=0\)

\(2y = 1\)

\(y = \tfrac12=0,5\)

или \(y - 4 = 0\)

\(y = 4\)

или \(y + 4 = 0\)

\(y = -4\)

Ответ: \(y = \tfrac12,\;4,\;-4.\)

г) \(4x^3 - 3x^2 = 4x - 3\)

\( 4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( (4x^3 - 3x^2) - (4x - 3) =0\)

\(x^2(4x - 3) - 1\cdot(4x - 3) =0\)

\((x^2 - 1)(4x - 3) =0\)

\((x - 1)(x + 1)(4x - 3) = 0. \)

\(x - 1=0\)

\(x = 1\)

или \(x + 1 = 0\)

\(x = -1\)

или \(4x - 3 = 0\)

\(4x = 3\)

\(x = \tfrac34\)

Ответ: \(x = 1,\;-1,\;\tfrac34.\)

Пояснения:

— Группировка: корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поэтому там где необходимо все члены переносим из павой части уравнения в левую, затем в левой части уравнения разбиваем многочлен на две группы так, чтобы в каждой группе был общий множитель.

— Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

— После группировки внутри скобок возникает разность или сумма одинаковых выражений, позволяющая вынести очередной множитель.

— Формула разности квадратов:

\a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

— Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

— Свойство нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю, что даёт корни уравнения.

а) \( 4x - 3y = 12\)

\(-3y = 12 - 4x\)

\(y = \frac{4x - 12}{3}. \)

б) \( 4x - 3y = 12\)

\(4x = 12 + 3y\)

\(x = \frac{12 + 3y}{4}. \)

Пояснения:

а) Выражение \(y\) через \(x\):

Переносим \(4x\) в правую часть уравнения со знаком минус:

\[ -3y = 12 - 4x \]

Умножаем обе части на \(-1\):

\[ 3y = 4x - 12 \]

Делим обе части на 3:

\[ y = \frac{4x - 12}{3} \]

б) Выражение \(x\) через \(y\):

Переносим \(-3y\) в правую часть уравнения:

\[ 4x = 12 + 3y \]

Делим обе части на 4:

\[ x = \frac{12 + 3y}{4} \]

Таким образом, обе переменные выражены через другую переменную в форме, пригодной для подстановки.