Упражнение 927 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( -x^3 + y^3 = y^3 - x^3 =\)

\(=(y - x)\bigl(y^2 + yx + x^2\bigr). \)

б) \( -8 - p^3 = -(8 + p^3) =\)

\(=-\bigl(2^3 + p^3\bigr) =\)

\(=-(2 + p)\bigl(4 - 2p + p^2\bigr). \)

в) \( -a^6 + \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8} - a^6 =\)

\(=\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^3 - (a^2)^3\Bigr) = \)

\(=(\tfrac{1}{2} - a^2)\bigl(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}a^2 + a^4\bigr). \)

г) \( -\tfrac{1}{27} - b^6 = -\Bigl(\tfrac{1}{27} + b^6\Bigr) =\)

\(=-\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^3 + (b^2)^3\Bigr) =\)

\(=-\Bigl(\tfrac{1}{3} + b^2\Bigr)\bigl(\tfrac{1}{9} - \tfrac{1}{3}b^2 + b^4\bigr). \)

д) \( c^6 + 1 = (c^2)^3 + 1^3 =\)

\(=(c^2 + 1)\bigl(c^4 - c^2 + 1\bigr). \)

е) \( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 =\)

\(=(x^2 + y^2)\bigl(x^4 - x^2y^2 + y^4\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

При работе с формулами учитывали свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

В пунктах а) и в) поменяли слагаемые местами, а заем применили формулу разности кубов.

В пунктах б) и г) вынесли знак минус за скобки, поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные, затем для выражения в скобках применили формулу суммы кубов.

а) \((a-1)(a^2+1)(a+1)-(a^2-1)^2-2(a^2-3)=\)

\((a^2-1)(a^2+1) - (a^4 - 2a^2 + 1) - 2a^2 + 6=\)

\(=\cancel{a^4} - 1 - \cancel{a^4} + \cancel{2a^2} - 1 - \cancel{2a^2} + 6=\)

\(=-1-1+6 = 4\) - не зависит от значения переменной.

б) \((a^2-3)^2-(a-2)(a^2+4)(a+2)-6(5-a^2)\)

\(=a^4 - \cancel{6a^2} + 9 - (a^2-4)(a^2+4) - 30 + \cancel{6a^2}=\)

\(=a^4 + 9 - (a^4-16) - 30 =\)

\(=\cancel{a^4} + 9 - \cancel{a^4} + 16 - 30 =\)

\(=9 + 16 - 30 = - 5\) - не зависит от значения переменной.

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) Выражение не зависит от значения переменной, если в ходе преобразований все переменные, входящие в выражение, сокращаются.

2) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - разность квадратов двух выражений.

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

5) Вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

6) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пункте а) сначала использовали то, что \((a-1)(a+1)=a^2-1\), получив \(a^4-1\), затем вычли квадрат \((a^2-1)^2\) и получили \(4\), значит, выражение не зависит от значения переменной \(a\).

В пункте б) аналогично: раскрыли по формуле \((a^2-3)^2\), раскрыли произведение через \((a^2-4)(a^2+4)\), затем вычитание и получили \(-5\), значит, выражение не зависит от значения переменной \(a\).