Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№906 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Решите уравнение:
а) \(x^2 - 16 = 0\);
б) \(y^2 - 81 = 0\);
в) \(\tfrac{1}{9} - x^2 = 0\);
г) \(a^2 - 0,25 = 0\);
д) \(b^2 + 36 = 0\);
е) \(x^2 - 1 = 0\);
ж) \(4x^2 - 9 = 0\);
з) \(25x^2 - 16 = 0\);
и) \(81x^2 + 4 = 0\).
№906 учебника 2013-2022 (стр. 181):
Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:
а) \(c^3 - d^3\);
б) \(p^3 + q^3\);
в) \(x^3 - 64\);
г) \(125 + a^3\);
д) \(y^3 - 1\);
е) \(1 + b^3\).
№906 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Вспомните:
№906 учебника 2013-2022 (стр. 181):
Вспомните:
№906 учебника 2023-2025 (стр. 180):
а) \( x^2 - 16 = 0\)
\( x^2 - 4^2 = 0\)
\((x - 4)(x + 4) = 0\)
\(x - 4 = 0 \) или \( x + 4 = 0\)
\(x = 4\) \(x = -4 \)
Ответ: \(x = 4\) или \(x = -4 \).
б) \( y^2 - 81 = 0\)
\( y^2 - 9^2 = 0\)
\((y - 9)(y + 9) = 0 \)
\(y = 9\) или \(y = -9 \)
Ответ: \(x = 9\) или \(x = -9 \).
в) \( \tfrac{1}{9} - x^2 =0\)
\( (\tfrac{1}{3})^2 - x^2 =0\)
\((\tfrac{1}{3} - x)(\tfrac{1}{3} + x) =0\)
\(\tfrac{1}{3} - x =0\) или \(\tfrac{1}{3} + x =0\)
\(x = \tfrac{1}{3}\) \(x = -\tfrac{1}{3} \)
Ответ: \(x = \tfrac{1}{3}\) или \(x = -\tfrac{1}{3} \).
г) \( a^2 - 0,25 = 0\)
\(a^2 - 0,5^2 =0\)
\((a - 0,5)(a + 0,5) = 0 \)
\(a - 0,5 = 0 \) или \(a + 0,5 = 0 \)
\( a = 0,5\) \(a = -0,5 \)
Ответ: \( a = 0,5\) или \(a = -0,5. \)
д) \( b^2 + 36 = 0\)
\( b^2 = -36\)
Ответ: корней нет.
е) \( x^2 - 1 =0\)
\((x - 1)(x + 1) = 0\)
\((x - 1)=0\) или \((x + 1) = 0\)
\( x = 1\) \(x = -1\)
Ответ: \( x = 1\) или \(x = -1\).
ж) \( 4x^2 - 9 =0\)
\((2x)^2 - 3^2 = 0\)
\((2x - 3)(2x + 3) = 0\)
\(2x - 3=0\) или \(2x + 3 = 0\)
\(2x = 3\) \(2x = -3\)
\(x = \tfrac{3}{2}\) \(x = -\tfrac{3}{2} \)
\(x = 1,5\) \(x = -1,5 \)
Ответ: \(x = 1,5\) или \(x = -1,5 \).
з) \( 25x^2 - 16 =0\)
\( (5x)^2 - 4^2 =0\)
\((5x - 4)(5x + 4) = 0\)
\(5x - 4=0\) или \(5x + 4 = 0\)
\(5x = 4\) \(5x = - 4\)
\( x = \tfrac{4}{5}\) \(x = -\tfrac{4}{5} \)
\( x = 0,8\) \(x = -0,8 \)
Ответ: \( x = 0,8\) или \(x = -0,8 \).
и) \( 81x^2 + 4 = 0\)
\( 81x^2 = -4\)
\( x^2 = -\frac{4}{81}\)
Ответ: корней нет.
Пояснения:
Использованная приемы и формулы:
1. \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.
2. Свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
3. Корни уравнения не изменяются, если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
4. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
5. Квадрат любого числа является неотрицательным числом, то есть \(x^2\geqslant0\).
Во всех пунктах, кроме д) и и), левую часть уравнения разложили на два множителя по формуле разности квадратов. Затем, учитывая то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, приравняли каждый множитель к нулю и нашли из полученных линейных уравнений корни исходного уравнения.
В пунктах д) и и) левые части не раскладываются на множители и из каждого из них получается, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может, поэтому эти уравнения не имеют корней.
№906 учебника 2013-2022 (стр. 181):
а) \( c^3 - d^3 = (c - d)\,(c^2 + c\,d + d^2). \)
б) \( p^3 + q^3 = (p + q)\,(p^2 - p\,q + q^2). \)
в) \( x^3 - 64 = x^3 - 4^3 =\)
\(=(x - 4)\,(x^2 + 4x + 16). \)
г) \( 125 + a^3 = 5^3 + a^3 =\)
\(=(5 + a)\,(25 - 5a + a^2). \)
д) \( y^3 - 1 = y^3 - 1^3 =\)
\(=(y - 1)\,(y^2 + y + 1). \)
е) \( 1 + b^3 = 1^3 + b^3 =\)
\(=(1 + b)\,(1 - b + b^2). \)
Пояснения:
Использованные формулы:
— Сумма кубов:
\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).
— Разность кубов:
\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
Вернуться к содержанию учебника