Упражнение 899 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 179

а) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\)

б) \(c^2 - z^2 = (c - z)(c + z)\)

в) \(a^2 - 25 = a^2 - 5^2 =\)

\(=(a - 5)(a + 5)\)

г) \(m^2 - 1 = m^2 - 1^2 =\)

\(=(m - 1)(m + 1)\)

д) \(16 - b^2 = 4^2 - b^2=\)

\(=(4 - b)(4 + b)\)

е) \(100 - x^2 = 10^2 - x^2 =\)

\(=(10 - x)(10 + x)\)

ж) \(p^2 - 400 = p^2 - 20^2= \)

\(=(p - 20)(p + 20)\)

з) \(y^2 - 0{,}09 = y^2 - 0,3^2=\)

\(=\bigl(y - 0{,}3\bigr)\bigl(y + 0{,}3\bigr)\)

и) \(1{,}44 - a^2 = 1,2^2 - a^2=\)

\(=\bigl(1{,}2 - a\bigr)\bigl(1{,}2 + a\bigr)\)

к) \(b^2 - \tfrac{4}{9} =b^2 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2=\)

\(=\bigl(b - \tfrac{2}{3}\bigr)\bigl(b + \tfrac{2}{3}\bigr)\)

л) \(\tfrac{9}{16} - n^2 = \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2 - n^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{4} - n\bigr)\bigl(\tfrac{3}{4} + n\bigr)\)

м) \(\tfrac{25}{49} - p^2 = \bigl(\tfrac{5}{7}\bigr)^2 - p^2=\)

\(=\bigl(\tfrac{5}{7} - p\bigr)\bigl(\tfrac{5}{7} + p\bigr)\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

Обозначим ширину прямоугольника через \(x\) (см). Тогда длина прямоугольника равна \(x + 5\) (см). Площадь квадрата на стороне длины: \((x + 5)^2\). Площадь квадрата на стороне ширины: \(x^2\). Известно, что площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого.

1) Составим уравнение:

\( (x + 5)^2 - x^2 = 95 \)

\( \cancel{x^2} + 10x + 25 - \cancel{x^2} = 95\)

\(10x + 25 = 95\)

\(10x = 95 - 25\)

\(10x = 70\)

\(x = \frac{70}{10}\)

 \( x = 7\) (см) - ширина прямоугольника.

2) \(7 + 5 = 12\) (см) - длина прямоугольника.

3) \(2\cdot(7 + 12) = 2 \cdot 19 = 38\) (см) - периметр прямоугольника.

Ответ: 38 см.

Пояснения:

1. Обозначения и формулы:

— Ширина прямоугольника: \(x\).

    Длина: \(x + 5\).

— Площадь квадрата со стороной \(a\) равна:  \(a^2\).

— Периметр прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна: \(2(a + b)\).

2. Составление уравнения:

По условию разность площадей квадратов равна 95 см², значит

\(\,(x+5)^2 - x^2 = 95\).

3. Решение уравнения:

Раскрыли скобки по формуле квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), сократили \(x^2\), получили линейное уравнение \(10x + 25 = 95\). Перенесли 25 вправо c противоположным знаком, получили \(10x = 70\), откуда \(x=7\).

4. Нахождение периметра:

Подставили \(x=7\) и \(x+5=12\) в формулу периметра:

\(2\cdot(7+12)=38\) см.