Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№898 учебника 2023-2025 (стр. 179):
Со станций M и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорости поездов.
№898 учебника 2013-2022 (стр. 179):
а) Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \((4n+5)^2 - 9\) делится на 4;
б) Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \((n+7)^2 - n^2\) делится на 7.
№898 учебника 2023-2025 (стр. 179):
Вспомните:
№898 учебника 2013-2022 (стр. 179):
Вспомните:
№898 учебника 2023-2025 (стр. 179):
Обозначим скорость поезда из M через \(x\) (км/ч), тогда скорость поезда из N равна \(x + 5\) (км/ч). Тогда за 2 ч поезд из М проедет \(2x\) (км), а скорость из N - \(5(x + 5)\) (км). Известно, что поездам оставалось пройти до встречи 30 км.
1) Составим уравнение:
\(2x + 2(x+5) + 30 = 380\)
\(2x + 2x + 10 + 30 = 380\)
\(4x = 380 - 10 - 30\)
\(4x = 340\)
\(x = \frac{340}{4}\)
\(x = 85\) (км/ч) - скорость поезда из М.
| - | 3 | 4 | 0 | 4 | ||||||||||
| 3 | 2 | 8 | 5 | |||||||||||
| - | 2 | 0 | ||||||||||||
| 2 | 0 | |||||||||||||
| 0 |
2) \(85 + 5 = 90\) (км/ч) - скорость поезда из N.
Ответ: 85 км/ч и 90 км/ч.
Пояснения:
Использованные обозначения и формулы:
— Пусть \(x\) — скорость поезда из M, тогда второй едет со скоростью \(x+5\).
— Формула пройденного пути: \(s = vt\), где \(v\) - скорость, а \(t\) - время.
— Общее пройденное расстояние за время \(t\): равно сумме расстояний, пройденных поездами.
Пояснение шагов:
1. Обозначили скорости через переменную \(x\) для удобства составления уравнения.
2. Составили выражения для расстояния, пройденного каждым поездом: (2x\) и \(5(x + 5)\).
3. Записали уравнение, учитывая то, сколько поезда уже проехали навстречу друг другу за 2 ч и то, сколько между ними осталось, а расстояние между городами 380 км:
\(2x + 2(x+5) + 30 = 380\)
4. Раскрыли скобки, привели подобные члены и решили линейное уравнение.
5. Получили \(x = 85\) км/ч — скорость поезда из M, а скорость поезда из N равна \(85 + 5 = 90\) км/ч.
№898 учебника 2013-2022 (стр. 179):
а) \( (4n+5)^2 - 9 = (4n+5)^2 - 3^2 =\)
\(=\bigl((4n+5) - 3\bigr)\,\bigl((4n+5) + 3\bigr) =\)
\(=(4n+5 - 3)(4n+5 + 3) =\)
\(=(4n+2)\,(4n+8)= \)
\(=2(2n+1)\cdot4(n+2)= \)
\(=8(2n+1)(n+2) \)- делится на 4.
б) \( (n+7)^2 - n^2 =\)
\(=\cancel{n^2} + 14n + 49 - \cancel{n^2} =\)
\(=14n + 49 = 7(2n + 7) \) - делится на 7.
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
— Формула разности квадратов:
\((u^2 - v^2) = (u - v)(u + v)\).
— Формула квадрата суммы:
\((u+v)^2=u^2+1uv+v^2\).
— Свойство делимости: если в произведении хотя бы один множитель делится на какое-либо число, то и произведение делится на это число.
1. В пункте а) выразили разность квадратов \((4n+5)^2 - 3^2\) и разложили на множители, после чего видно, что оба множителя дают общий множитель 8, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 4.
2. В пункте б) раскрыли квадрат суммы и привели подобные члены (сократили противоположные), получили \(14n+49\), из которого вынесли множитель 7, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 7.
Вернуться к содержанию учебника